Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 7 см, а радиус сечения...

Для начала нарисуем схематическое изображение данной задачи:

M - середина отрезка AB, который задан точками A(0;3;-4) и B(-2;2;0). Для начала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка AB. Для этого воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка: M(x; y; z) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2) M(x; y; z) = ((0 + (-2)) / 2, (3 + 2) / 2, (-4 + 0) / 2) M(x; y; z) = (-1, 2.5, -2)

Теперь найдем координаты вектора AM, который задается как разность координат точек A и M: AM(x; y; z) = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2) AM(x; y; z) = (0 - (-1), 3 - 2.5, -4 - (-2)) AM(x; y; z) = (1, 0.5, -2)

Итак, координаты вектора AM равны (1; 0.5; -2).

Для решения задачи о нахождении радиуса шара, нам нужно использовать геометрические соотношения в трехмерном пространстве.

1. Найдем радиус шара:

   Дано:

   • Расстояние от центра шара до плоскости сечения (d = 7 ) см.
   • Радиус сечения (r = \sqrt{15} ) см.

   Из геометрии известно, что круговое сечение шара получается, когда плоскость пересекает шар. При этом радиус круга сечения, радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник.

   Обозначим радиус шара как (R). Тогда по теореме Пифагора для треугольника, где гипотенуза — радиус шара (R), один катет — радиус сечения (r), а другой катет — расстояние от центра шара до плоскости (d), имеем: [ R^2 = r^2 + d^2 ]

   Подставим известные значения: [ R^2 = (\sqrt{15})^2 + 7^2 ] [ R^2 = 15 + 49 ] [ R^2 = 64 ] [ R = \sqrt{64} ] [ R = 8 \, \text{см} ]

   Таким образом, радиус шара равен 8 см.

2. Найдем координаты вектора ( \textbf{AM} ):

   Даны координаты точек:

   • (A(0, 3, -4))
   • (B(-2, 2, 0))

   Точка (M) является серединой отрезка (AB), поэтому её координаты можно найти как средние значения соответствующих координат точек (A) и (B): [ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) ]

   Подставим значения: [ M\left(\frac{0 + (-2)}{2}, \frac{3 + 2}{2}, \frac{-4 + 0}{2}\right) ] [ M\left(\frac{-2}{2}, \frac{5}{2}, \frac{-4}{2}\right) ] [ M(-1, 2.5, -2) ]

   Теперь найдем координаты вектора ( \textbf{AM} ): [ \textbf{AM} = M - A = (-1 - 0, 2.5 - 3, -2 + 4) ] [ \textbf{AM} = (-1, -0.5, 2) ]

Таким образом, координаты вектора ( \textbf{AM} ) равны ((-1, -0.5, 2)).

Рисунок:

Для визуализации задачи представим шар и плоскость сечения:

        O
       /|\
      / | \
     /  |  \
    /   |d  \
   /    |    \
  /     |     \
 /______|______\
  \     r      /
   \          /
    \        /
     \      /
      \    /
       \  /
        \/
         P

Здесь:

• (O) — центр шара
• (d) — расстояние от центра шара до плоскости сечения
• (r) — радиус сечения
• (P) — точка пересечения плоскости сечения и прямой, проходящей через центр шара и перпендикулярной плоскости

Радиус шара (R) является гипотенузой прямоугольного треугольника, а (d) и (r) — катетами.

Для нахождения радиуса шара воспользуемся теоремой Пифагора. Получаем: [r^2 = 7^2 + (\sqrt{15})^2 = 49 + 15 = 64 \Rightarrow r = 8\text{ см}]

Координаты вектора AM вычисляются как разность координат точек M и A: [AM = (x_M - x_A, y_M - y_A, z_M - z_A)] Найдем координаты точки M: [x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 - 2}{2} = -1] [y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}] [z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = -2] Теперь находим вектор AM: [AM = (-1-0, \frac{5}{2}-3, -2-(-4)) = (-1, \frac{-1}{2}, 2)]