Найдите площадь треугольника,две стороны которого равны 9 см и 3√2 см,а угол между ними равен:1)45 градусов;2)150...

Площадь треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) ]

где ( a ) и ( b ) — длины сторон, а ( C ) — угол между ними.

1) Для угла 45 градусов: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см}^2 ]

2) Для угла 150 градусов: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{4} \approx 9.54 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника: 1) 13.5 см² 2) примерно 9.54 см².

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) ]

где ( S ) — площадь треугольника, ( a ) и ( b ) — длины сторон, а ( C ) — угол между ними.

В нашем случае:

• ( a = 9 \, \text{см} )
• ( b = 3\sqrt{2} \, \text{см} )

Теперь рассмотрим два случая с разными углами.

1) Угол ( C = 45^\circ )

Для угла ( 45^\circ ) значение синуса можно найти через таблицу или калькулятор:

[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим значения в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

[ = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} ]

[ = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 ]

[ = \frac{27}{2} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника при угле ( 45^\circ ) равна ( \frac{27}{2} \, \text{см}^2 ) или ( 13.5 \, \text{см}^2 ).

2) Угол ( C = 150^\circ )

Для угла ( 150^\circ ):

[ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ]

Теперь подставим значение в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(150^\circ) ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} ]

[ = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} ]

[ = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{4} ]

[ = \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника при угле ( 150^\circ ) равна ( \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2 ) или примерно ( 9.54 \, \text{см}^2 ) (если использовать значение ( \sqrt{2} \approx 1.414 )).

Ответы:

1) Площадь при угле ( 45^\circ ): ( 13.5 \, \text{см}^2 ) 2) Площадь при угле ( 150^\circ ): ( \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2 ) (примерно ( 9.54 \, \text{см}^2 ))

Чтобы найти площадь треугольника, зная две стороны и угол между ними, используется следующая формула:

[ S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha, ]

где:

• (a) и (b) — длины сторон треугольника,
• (\alpha) — угол между этими сторонами (в радианах или градусах),
• (\sin \alpha) — синус угла (\alpha).

В данном случае:

• (a = 9 \, \text{см}),
• (b = 3\sqrt{2} \, \text{см}),
• (\alpha = 45^\circ) в первом случае и (\alpha = 150^\circ) во втором.

1. Угол ( \alpha = 45^\circ )

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(45^\circ). ]

Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ). ]

Значение (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Подставим: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2}. ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2} = 13,5 \, \text{см}^2. ]

Итак, площадь треугольника при (\alpha = 45^\circ): [ S = 13,5 \, \text{см}^2. ]

2. Угол (\alpha = 150^\circ)

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(150^\circ). ]

Значение (\sin(150^\circ)) равно (\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}). Подставим это значение в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}. ]

Упростим выражение: [ S = \frac{1}{4} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2}. ]

[ S = \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2. ]

Итак, площадь треугольника при (\alpha = 150^\circ): [ S = \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2 \approx 9,53 \, \text{см}^2 \; (\text{если округлить до сотых}). ]

Ответ:

1. Если угол (45^\circ), площадь треугольника: (S = 13,5 \, \text{см}^2).
2. Если угол (150^\circ), площадь треугольника: (S = \frac{27\sqrt{2}}{4} \, \text{см}^2 \approx 9,53 \, \text{см}^2).