Найдите площадь сечения единичного куба A.D1 плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер...

Площадь сечения будет равна половине площади грани куба, то есть 0.5 квадратных единиц.

Для нахождения площади сечения единичного куба плоскостью A.D1, проходящей через вершину C и середины ребер BB1 и DD1, нам необходимо сначала определить положение этой плоскости относительно куба.

Поскольку плоскость проходит через вершину C и середины ребер BB1 и DD1, она будет проходить через центр куба и делить его на две равные части. Таким образом, плоскость A.D1 будет проходить через диагональ куба, соединяющую противоположные вершины.

Для нахождения площади сечения воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника:

S = 0.5 a b

Где a и b - катеты треугольника.

Так как куб имеет все стороны равными 1, то сторона треугольника, образованного сечением куба, будет равна диагонали куба. По теореме Пифагора, диагональ куба равна корню из суммы квадратов сторон куба:

d = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

Теперь можем найти площадь сечения:

S = 0.5 1 1 = 0.5

Таким образом, площадь сечения единичного куба плоскостью A.D1 будет равна 0.5.

Для нахождения площади сечения единичного куба плоскостью, проходящей через вершину ( C ) и середины ребер ( BB_1 ) и ( DD_1 ), мы можем воспользоваться координатным методом и геометрическими свойствами куба.

1. Координаты вершин куба:

   Рассмотрим единичный куб с вершинами:

   • ( A (0,0,0) )
   • ( B (1,0,0) )
   • ( C (1,1,0) )
   • ( D (0,1,0) )
   • ( A_1 (0,0,1) )
   • ( B_1 (1,0,1) )
   • ( C_1 (1,1,1) )
   • ( D_1 (0,1,1) )

2. Координаты середины ребер:

   • Середина ребра ( BB_1 ) имеет координаты ( M \left(1, 0, \frac{1}{2}\right) )
   • Середина ребра ( DD_1 ) имеет координаты ( N \left(0, 1, \frac{1}{2}\right) )

3. Уравнение плоскости:

   Нам необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( C (1,1,0) ), ( M \left(1, 0, \frac{1}{2}\right) ) и ( N \left(0, 1, \frac{1}{2}\right) ).

   Для этого используем общее уравнение плоскости: [ Ax + By + Cz + D = 0 ]

   Подставим координаты точек ( C ), ( M ) и ( N ) в это уравнение:

   1. Для точки ( C (1,1,0) ): [ A(1) + B(1) + C(0) + D = 0 \implies A + B + D = 0 ]

   2. Для точки ( M \left(1, 0, \frac{1}{2}\right) ): [ A(1) + B(0) + C\left(\frac{1}{2}\right) + D = 0 \implies A + \frac{C}{2} + D = 0 ]

   3. Для точки ( N \left(0, 1, \frac{1}{2}\right) ): [ A(0) + B(1) + C\left(\frac{1}{2}\right) + D = 0 \implies B + \frac{C}{2} + D = 0 ]

4. Система уравнений: [ \begin{cases} A + B + D = 0 \ A + \frac{C}{2} + D = 0 \ B + \frac{C}{2} + D = 0 \end{cases} ]

   Решим эту систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого: [ A + B + D - \left( A + \frac{C}{2} + D \right) = 0 \implies B - \frac{C}{2} = 0 \implies B = \frac{C}{2} ]

   Вычтем третье уравнение из первого: [ A + B + D - \left( B + \frac{C}{2} + D \right) = 0 \implies A - \frac{C}{2} = 0 \implies A = \frac{C}{2} ]

   Подставим ( A ) и ( B ) в первое уравнение: [ \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + D = 0 \implies C + D = 0 \implies D = -C ]

   Таким образом, уравнение плоскости будет: [ \frac{C}{2}x + \frac{C}{2}y + Cz - C = 0 ] Упростим его, разделив на ( C ): [ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + z - 1 = 0 \implies x + y + 2z - 2 = 0 ]

5. Нахождение точек пересечения плоскости с ребрами куба:

   Нам нужно найти точки пересечения плоскости ( x + y + 2z = 2 ) с ребрами куба. Пересечения с гранями ( z = 0 ) и ( z = 1 ).

   Для ( z = 0 ): [ x + y + 2(0) = 2 \implies x + y = 2 ] Эта линия пересекается с ребрами ( AC ) и ( BD ).

   Для ( z = 1 ): [ x + y + 2(1) = 2 \implies x + y = 0 ] Эта линия пересекается с ребрами ( A_1C_1 ) и ( B_1D_1 ).

6. Площадь сечения:

   Поскольку линии пересечения параллельны и отстоят друг от друга на единицу по оси z, сечение представляет собой параллелограмм. В данном случае, это прямоугольник с длиной ( \sqrt{2} ) и шириной ( 1 ).

   Площадь прямоугольника: [ S = \text{длина} \times \text{ширина} = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2} ]

Таким образом, площадь сечения единичного куба плоскостью, проходящей через вершину ( C ) и середины ребер ( BB_1 ) и ( DD_1 ), равна ( \sqrt{2} ).