Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей 70 см

Для того чтобы найти площадь ромба, зная длину его стороны и сумму диагоналей, можно использовать следующий метод.

1. Обозначим диагонали ромба как (d_1) и (d_2). Известно, что сумма диагоналей равна 70 см, следовательно: [ d_1 + d_2 = 70 \text{ см} ]

2. Площадь ромба можно вычислить по формуле, используя его диагонали: [ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 ]

3. Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти значения (d_1) и (d_2). Для ромба справедливо следующее свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения, образуя четыре прямоугольных треугольника.

4. Если рассмотреть один из этих треугольников, гипотенузой которого является сторона ромба (25 см), а катетами — половины диагоналей ((\frac{d_1}{2}) и (\frac{d_2}{2})), то по теореме Пифагора получим: [ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 25^2 ] [ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 625 ] [ \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 625 ] [ d_1^2 + d_2^2 = 2500 ]

5. Используя уравнение (d_1 + d_2 = 70), выразим одну диагональ через другую: [ d_2 = 70 - d_1 ]

6. Подставим в уравнение суммы квадратов: [ d_1^2 + (70 - d_1)^2 = 2500 ] [ d_1^2 + (4900 - 140d_1 + d_1^2) = 2500 ] [ 2d_1^2 - 140d_1 + 4900 = 2500 ] [ 2d_1^2 - 140d_1 + 2400 = 0 ] [ d_1^2 - 70d_1 + 1200 = 0 ]

7. Решим квадратное уравнение: [ d_1 = \frac{-(-70) \pm \sqrt{(-70)^2 - 4 \cdot 1200}}{2} ] [ d_1 = \frac{70 \pm \sqrt{4900 - 4800}}{2} ] [ d_1 = \frac{70 \pm 10}{2} ] [ d_1 = 40 \text{ или } 30 ]

8. Тогда (d_2 = 70 - 40 = 30) или (d_2 = 70 - 30 = 40). Таким образом, диагонали ромба равны 30 см и 40 см.

9. Подставляем в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь ромба равна 600 квадратных сантиметров.

Для нахождения площади ромба с известными стороной и суммой диагоналей, нужно воспользоваться формулой:

S = (d1 * d2) / 2,

где S - площадь ромба, d1 и d2 - длины его диагоналей.

По условию задачи известно, что сторона ромба равна 25 см, что означает, что диагонали ромба можно найти, используя теорему Пифагора. Так как диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника, то одна из диагоналей будет гипотенузой, а сторона ромба - одним из катетов.

Получаем: d1 = 2 * 25 = 50 см, d2 = √(d1^2 - a^2) = √(50^2 - 25^2) = √(2500 - 625) = √1875 ≈ 43.3 см.

Теперь можем найти площадь ромба: S = (50 * 43.3) / 2 = 1082.5 см^2.

Итак, площадь ромба со стороной 25 см и суммой диагоналей 70 см равна 1082.5 квадратных сантиметров.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. По формуле S = (d1 d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали, площадь ромба будет S = (25 70) / 2 = 875 см^2.