Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{abc}{4R} ]

где ( a ) — сторона треугольника, ( R ) — радиус описанной окружности. Для правильного треугольника сторона ( a ) связана с радиусом описанной окружности ( R ) следующим образом:

[ a = R \cdot \sqrt{3} ]

Подставим ( R = 5 ) см:

[ a = 5 \cdot \sqrt{3} ]

Теперь найдем площадь:

[ S = \frac{(5\sqrt{3})^3}{4 \cdot 5} = \frac{125\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, площадь правильного треугольника составляет:

[ S \approx 54.73 \text{ см}^2 ] (с округлением).

Для решения задачи найдем площадь правильного треугольника, используя радиус описанной окружности.

Шаг 1. Свойства правильного треугольника

Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы составляют (60^\circ). Радиус описанной окружности (R) правильного треугольника связан с длиной стороны (a) по формуле: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}}, ] где (a) — длина стороны треугольника.

Шаг 2. Выразим сторону (a)

Дано, что (R = 5 \, \text{см}). Подставим это значение в формулу: [ 5 = \frac{a}{\sqrt{3}}. ] Домножим обе части на (\sqrt{3}), чтобы выразить (a): [ a = 5\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 3. Формула площади правильного треугольника

Площадь правильного треугольника (S) можно найти по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, ] где (a) — длина стороны треугольника.

Подставим (a = 5\sqrt{3}) в формулу: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (5\sqrt{3})^2. ]

Шаг 4. Упростим выражение

Сначала возведем в квадрат (5\sqrt{3}): [ (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75. ] Теперь подставим это значение в формулу для площади: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 75. ] Умножим: [ S = \frac{75\sqrt{3}}{4}. ]

Ответ

Площадь правильного треугольника равна: [ S = \frac{75\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2. ] Если нужен примерный численный ответ, можно подставить (\sqrt{3} \approx 1{,}732): [ S \approx \frac{75 \cdot 1{,}732}{4} = \frac{129{,}9}{4} \approx 32{,}475 \, \text{см}^2. ]

Чтобы найти площадь правильного треугольника, зная радиус его описанной окружности, можно воспользоваться известной формулой для площади ( S ) правильного треугольника через радиус описанной окружности ( R ):

[ S = \frac{abc}{4R} ]

где ( a ), ( b ), и ( c ) — стороны треугольника. В случае правильного треугольника все три стороны равны, и мы можем обозначить длину стороны как ( a ). Таким образом, формула площади будет выглядеть следующим образом:

[ S = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4R} ]

Для правильного треугольника также существует прямая зависимость между длиной стороны ( a ) и радиусом описанной окружности ( R ):

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Отсюда мы можем выразить ( a ):

[ a = R \cdot \sqrt{3} ]

Поскольку в данном случае ( R = 5 ) см, можем подставить это значение:

[ a = 5 \cdot \sqrt{3} ]

Теперь подставим это значение стороны ( a ) в формулу для площади:

[ S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot 5} ]

Упрощаем это выражение:

1. Находим ( (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 ).
2. Подставляем это значение в формулу:

[ S = \frac{75 \cdot \sqrt{3}}{20} ]

1. Упрощаем дробь:

[ S = \frac{15\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, площадь правильного треугольника, радиус описанной окружности которого равен 5 см, составляет:

[ S = \frac{15\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 ]

Приблизительно это значение можно оценить как:

[ S \approx \frac{15 \cdot 1.732}{4} \approx \frac{25.98}{4} \approx 6.495 \text{ см}^2 ]

Итак, окончательный ответ: площадь правильного треугольника с радиусом описанной окружности 5 см равна ( \frac{15\sqrt{3}}{4} ) см² или приблизительно 6.495 см².