Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5,...

Для решения данной задачи нам необходимо разбить поверхность пирамиды на три части: основание и две треугольные боковые грани.

1. Площадь основания пирамиды: Площадь квадрата (основания) можно найти по формуле S = a^2, где a - длина стороны квадрата (основания). В данном случае a = 5, поэтому S(осн) = 5^2 = 25.

2. Площадь боковой грани пирамиды: Для нахождения площади боковой грани пирамиды воспользуемся формулой S = 0.5 a p, где a - длина стороны основания, p - периметр основания. В нашем случае a = 5, а периметр квадрата равен 4a = 20. Поэтому S(бок) = 0.5 5 20 = 50.

3. Площадь поверхности пирамиды: Суммируем площади основания и двух боковых граней: S(пов) = S(осн) + 2 S(бок) = 25 + 2 50 = 125.

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусов, равна 125 квадратных единицам.

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно учесть площадь основания и площадь всех боковых граней. Давайте шаг за шагом найдем эти площади.

1. Площадь основания: Основание пирамиды — это квадрат со стороной 5. Площадь квадрата ( S{\text{осн}} ) находится по формуле: [ S{\text{осн}} = a^2 = 5^2 = 25 ]

2. Высота боковой грани: У нас есть угол наклона боковой грани к плоскости основания, равный 60 градусов. Чтобы найти высоту боковой грани (апофему), нужно рассмотреть треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Этот треугольник является прямоугольным.

   Обозначим:

   • ( h ) — высота пирамиды;
   • ( l ) — апофема (высота боковой грани);
   • ( a/2 = 5/2 = 2.5 ) — половина стороны основания.

   Из условия задачи известно, что угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Для нахождения апофемы используем тригонометрическое соотношение: [ \cos(60^\circ) = \frac{a/2}{l} ] [ \frac{1}{2} = \frac{2.5}{l} ] [ l = 2.5 \times 2 = 5 ]

3. Площадь боковой грани: Боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием ( a = 5 ) и апофемой ( l = 5 ). Площадь боковой грани ( S{\text{бок}} ) находится по формуле: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 ]

   Так как у пирамиды четыре боковые грани, суммарная площадь всех боковых граней будет: [ S_{\text{бок сумм}} = 4 \times 12.5 = 50 ]

4. Площадь поверхности пирамиды: Полная площадь поверхности пирамиды ( S{\text{полн}} ) равна сумме площадей основания и боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок сумм}} = 25 + 50 = 75 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 75.

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна 25 (5 в квадрате), а площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту. Периметр основания равен 20 (5 4), а высота равна 5 sin(60) = 5 √3 / 2 = 5√3 / 2. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 20 5√3 / 2 / 2 = 25√3. Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна 25 + 25√3.