Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса, если площади его оснований 25π см² и 64π см²,...

Чтобы найти площадь полной поверхности усечённого конуса, нужно учитывать площадь его двух оснований и площадь боковой поверхности. Давайте разберёмся поэтапно, как это сделать.

1. Дано:

   • Площадь меньшего основания ( S_1 = 25\pi ) см².
   • Площадь большего основания ( S_2 = 64\pi ) см².
   • Площадь осевого сечения ( S_{\text{ос}} = 52 ) см².

2. Найдем радиусы оснований: Поскольку площади оснований выражены через (\pi), можно использовать формулу площади круга ( S = \pi r^2 ) для нахождения радиусов.

   • Для меньшего основания: [ 25\pi = \pi r_1^2 \implies r_1^2 = 25 \implies r_1 = 5 \text{ см} ]

   • Для большего основания: [ 64\pi = \pi r_2^2 \implies r_2^2 = 64 \implies r_2 = 8 \text{ см} ]

3. Осевое сечение: Осевое сечение усечённого конуса представляет собой трапецию с высотой, равной высоте усечённого конуса, и основаниями, равными диаметрам кругов оснований.

   Пусть ( h ) — высота усечённого конуса. Диаметры оснований равны ( 2r_1 = 10 ) см и ( 2r2 = 16 ) см. Тогда площадь трапеции (осевого сечения) вычисляется по формуле: [ S{\text{ос}} = \frac{1}{2} (a + b) h ] где ( a = 10 ) см, ( b = 16 ) см.

   Подставим известные значения: [ 52 = \frac{1}{2} (10 + 16) h \implies 52 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot h \implies 52 = 13h \implies h = 4 \text{ см} ]

   Таким образом, высота усечённого конуса ( h = 4 ) см.

4. Найдём образующую (l): Образующая ( l ) (длина наклонной боковой поверхности) найдётся из прямоугольного треугольника с катетами ( h ) и ( r_2 - r_1 ): [ l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{4^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

5. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: [ S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r2) l ] Подставим известные значения: [ S{\text{бок}} = \pi (5 + 8) \cdot 5 = \pi \cdot 13 \cdot 5 = 65\pi \text{ см}^2 ]

6. Полная площадь поверхности: Полная площадь поверхности усечённого конуса включает площади обоих оснований и боковой поверхности: [ S_{\text{полн}} = S_1 + S2 + S{\text{бок}} ] Подставим известные значения: [ S_{\text{полн}} = 25\pi + 64\pi + 65\pi = 154\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности усечённого конуса равна ( 154\pi ) см².

Для нахождения площади полной поверхности усеченного конуса воспользуемся формулой:

S = π(R+r)l + πR² + πr²,

где S - площадь полной поверхности усеченного конуса, R и r - радиусы оснований большего и меньшего конусов соответственно, l - образующая усеченного конуса.

Найдем высоту усеченного конуса по формуле:

h = √(l² - (R-r)²),

где h - высота усеченного конуса.

Теперь найдем образующую усеченного конуса:

l = √(h² + (R-r)²).

Из условия задачи имеем:

πR² = 25π, πr² = 64π, π(R+r) = 52.

Отсюда находим R и r:

R = 5, r = 8.

Подставляем найденные значения R и r в формулу для l и находим:

l = √(h² + (5-8)²) = √(h² + 9).

Также подставляем R и r в формулу для площади осевого сечения:

π(5+8)h = 52, 13πh = 52, h = 4.

Теперь подставляем найденные значения R, r и h в формулу для l и находим:

l = √(4² + 9) = √25 = 5.

И, наконец, подставляем все найденные значения в формулу для площади полной поверхности усеченного конуса:

S = π(5+8)5 + π5² + π8² = 13π*5 + 25π + 64π = 65π + 25π + 64π = 154π см².

Итак, площадь полной поверхности усеченного конуса равна 154π квадратных сантиметра.