Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30(градусов).
Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30(градусов).
Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = 3 a l / 2, где a - длина стороны основания, l - длина апофемы. По формуле косинусов находим длину стороны основания a = 4 * √3 см. Подставляем значения и получаем S = 24√3 см².
Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды сначала найдем боковую площадь и основание пирамиды.
Так как пирамида правильная треугольная, то ее основание - равносторонний треугольник. Периметр равностороннего треугольника можно найти по формуле: p = 3 a, где a - длина стороны основания пирамиды. Так как угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30 градусам, то треугольник делится на два равнобедренных треугольника. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами в 2 см и 4 см, где гипотенуза равна апофеме. С помощью тригонометрии найдем длину стороны основания: sin(30) = 2 / l => l = 4 / sin(30) = 8 см. Теперь можем найти периметр основания: p = 3 8 = 24 см. Теперь можем найти боковую площадь: Sб = 0.5 24 4 = 48 см^2.
Найдем площадь основания пирамиды: Поскольку основание - равносторонний треугольник, то его площадь можно найти по формуле: Sосн = (a^2 sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны основания пирамиды. Для нашего треугольника длина стороны a = 8 см, поэтому площадь основания равна: Sосн = (8^2 sqrt(3)) / 4 ≈ 27.71 см^2.
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sп = Sосн + Sб = 27.71 + 48 ≈ 75.71 см^2.
Итак, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна примерно 75.71 квадратным сантиметрам.
Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно определить площади всех ее граней: основания и боковых граней.
Найдем высоту боковой грани:
У нас есть апофема (4 см) и угол между апофемой и высотой пирамиды (30 градусов). Апофема — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Используем тригонометрические соотношения.
[ \text{cos}(\angle) = \frac{\text{высота пирамиды}}{\text{апофема}} ]
Подставляем значения:
[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{4} ]
Решаем уравнение:
[ h = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]
Найдем сторону основания:
Теперь используем тригонометрию для определения стороны основания. В прямоугольном треугольнике, где высота пирамиды и половина стороны основания — катеты, а апофема — гипотенуза:
[ \sin(30^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{4} ]
Подставляем значения:
[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{a}{8} ]
Решаем уравнение:
[ a = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} ]
Найдем площадь основания:
Площадь основания правильной треугольной пирамиды (правильного треугольника) рассчитывается по формуле:
[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]
Подставляем значение стороны основания:
[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Найдем площадь одной боковой грани:
Площадь боковой грани (равнобедренного треугольника) рассчитывается по формуле:
[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \text{апофема} ]
Подставляем значения:
[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2 ]
Найдем площадь всех боковых граней:
В правильной треугольной пирамиде три боковые грани, поэтому общая площадь всех боковых граней:
[ S{\text{всех боковых}} = 3 \cdot S{\text{боковой}} = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2 ]
Найдем полную площадь поверхности пирамиды:
Полная площадь поверхности пирамиды — это сумма площади основания и всех боковых граней:
[ S{\text{полная}} = S{\text{основания}} + S_{\text{всех боковых}} = 4\sqrt{3} + 24 ]
Таким образом, полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна ( 4\sqrt{3} + 24 ) квадратных сантиметров.
