Найдите площадь полной поверхности цилиндра если диагональ его осевого сечения равна 8 см и составляет...

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, начнем с анализа данных, предоставленных в задаче.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см.
2. Угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра составляет 30 градусов.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра ( h ), а другая — диаметру основания ( 2r ). Диагональ этого прямоугольника можно выразить через теорему Пифагора:

[ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} ]

По условию задачи, диагональ ( d ) равна 8 см:

[ 8 = \sqrt{(2r)^2 + h^2} ]

Также по условию задачи, угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра (которая равна высоте ( h )) равен 30 градусам. Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{d} ]

Значение (\cos(30^\circ)) равно (\frac{\sqrt{3}}{2}), поэтому:

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} ]

Решим это уравнение для ( h ):

[ h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь подставим значение ( h ) в уравнение для диагонали:

[ 8 = \sqrt{(2r)^2 + (4\sqrt{3})^2} ]

Упростим это выражение:

[ 8 = \sqrt{4r^2 + 48} ]

Возведем обе стороны в квадрат:

[ 64 = 4r^2 + 48 ]

Решим это уравнение для ( r ):

[ 64 - 48 = 4r^2 ]

[ 16 = 4r^2 ]

[ r^2 = 4 ]

[ r = 2 \text{ см} ]

Теперь у нас есть радиус основания ( r = 2 \text{ см} ) и высота ( h = 4\sqrt{3} \text{ см} ). Найдем площадь полной поверхности цилиндра, которая состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом ( r ):

[ S_{\text{основание}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см}^2 ]

Так как у цилиндра два основания, их общая площадь:

[ S_{\text{оснований}} = 2 \cdot 4\pi = 8\pi \text{ см}^2 ]

Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра:

[ S_{\text{боковая}} = 2\pi r \cdot h = 2\pi \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Теперь суммируем площади оснований и боковой поверхности для получения полной площади поверхности цилиндра:

[ S{\text{полная}} = S{\text{оснований}} + S_{\text{боковая}} = 8\pi + 16\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет:

[ S_{\text{полная}} = 8\pi + 16\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Этот результат является ответом на задачу.

Дано: диагональ осевого сечения цилиндра = 8 см, угол между диагональю и образующей = 30 градусов.

Решение: Используя теорему Пифагора, находим радиус цилиндра: r = 4 см. Зная радиус и угол, можем найти длину образующей: l = r / cos(30°) ≈ 4.62 см. Теперь находим площадь полной поверхности цилиндра: S = 2πr(r + l) ≈ 150.92 см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна примерно 150.92 см².

Для решения данной задачи, нужно найти радиус цилиндра и его высоту, зная диагональ осевого сечения и угол между диагональю и образующей.

Пусть радиус цилиндра равен R, высота - H. Тогда длина образующей цилиндра равна R/cos(30°) = R/√3.

По теореме Пифагора, диагональ осевого сечения равна √(2R² + H²). Подставим известные значения: 8 = √(2R² + H²) (1)

Также, из условия задачи, синус угла между диагональю и образующей равен H/8 = sin(30°) = 0.5. Получаем: H = 8 * 0.5 = 4 (2)

Подставляем (2) в (1): 8 = √(2R² + 4²) 64 = 2R² + 16 48 = 2R² R² = 24 R = √24 = 2√6

Теперь находим площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности (2πRH) и двух оснований (2πR²). Подставляем найденные значения R и H: S = 2π(2√6)(4) + 2π(2√6)² S = 16π√6 + 8π * 6 S = 16π√6 + 48π S ≈ 263.89 см²

Итак, площадь полной поверхности цилиндра при данных условиях составляет примерно 263.89 квадратных сантиметров.