Найдите площадь полной поверхности цилиндра если диагональ его осевого сечения равна 8 см и составляет...

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, начнем с анализа данных, предоставленных в задаче.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см.
2. Угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра составляет 30 градусов.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая — диаметру основания $2r$. Диагональ этого прямоугольника можно выразить через теорему Пифагора:

$d=\sqrt{(2r{)}^2+h^2}$

По условию задачи, диагональ $d$ равна 8 см:

$8=\sqrt{(2r{)}^2+h^2}$

Также по условию задачи, угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра $котораяравнавысоте(h$) равен 30 градусам. Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

$\cos ({30}^{\circ })=\frac{h}{d}$

Значение $\cos ({30}^{\circ }$) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{8}$

Решим это уравнение для $h$:

$h=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Теперь подставим значение $h$ в уравнение для диагонали:

$8=\sqrt{(2r{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2}$

Упростим это выражение:

$8=\sqrt{4r^2+48}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$64=4r^2+48$

Решим это уравнение для $r$:

$64-48=4r^2$

$16=4r^2$

$r^2=4$

$r=2\text{ см}$

Теперь у нас есть радиус основания $r=2\text{ см}$ и высота $h=4\sqrt{3}\text{ см}$. Найдем площадь полной поверхности цилиндра, которая состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом $r$:

$S_{\text{основание}}=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{ см}}^2$

Так как у цилиндра два основания, их общая площадь:

$S_{\text{оснований}}=2\cdot 4\pi =8\pi {\text{ см}}^2$

Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра:

$S_{\text{боковая}}=2\pi r\cdot h=2\pi \cdot 2\cdot 4\sqrt{3}=16\pi \sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Теперь суммируем площади оснований и боковой поверхности для получения полной площади поверхности цилиндра:

[ S{\text{полная}} = S{\text{оснований}} + S_{\text{боковая}} = 8\pi + 16\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет:

$S_{\text{полная}}=8\pi +16\pi \sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Этот результат является ответом на задачу.

Дано: диагональ осевого сечения цилиндра = 8 см, угол между диагональю и образующей = 30 градусов.

Решение: Используя теорему Пифагора, находим радиус цилиндра: r = 4 см. Зная радиус и угол, можем найти длину образующей: l = r / cos$30°$ ≈ 4.62 см. Теперь находим площадь полной поверхности цилиндра: S = 2πr$r+l$ ≈ 150.92 см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна примерно 150.92 см².

Для решения данной задачи, нужно найти радиус цилиндра и его высоту, зная диагональ осевого сечения и угол между диагональю и образующей.

Пусть радиус цилиндра равен R, высота - H. Тогда длина образующей цилиндра равна R/cos$30°$ = R/√3.

По теореме Пифагора, диагональ осевого сечения равна √$2R²+H²$. Подставим известные значения: 8 = √$2R²+H²$ $1$

Также, из условия задачи, синус угла между диагональю и образующей равен H/8 = sin$30°$ = 0.5. Получаем: H = 8 * 0.5 = 4 $2$

Подставляем $2$ в $1$: 8 = √$2R²+4²$ 64 = 2R² + 16 48 = 2R² R² = 24 R = √24 = 2√6

Теперь находим площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности $2\pi RH$ и двух оснований $2\pi R²$. Подставляем найденные значения R и H: S = 2π$2\surd 6$$4$ + 2π$2\surd 6$² S = 16π√6 + 8π * 6 S = 16π√6 + 48π S ≈ 263.89 см²

Итак, площадь полной поверхности цилиндра при данных условиях составляет примерно 263.89 квадратных сантиметров.