Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым...

Пусть катет прямоугольного треугольника равен а, тогда радиус вписанного круга равен r = a/2. Площадь круга равна S = πr^2 = π(a/2)^2 = πa^2/4. Таким образом, площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом, равна πa^2/4.

Чтобы найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, нужно сначала определить радиус этого круга. Вписанный круг касается всех трёх сторон треугольника, и его центр является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом (a) и прилежащим к нему острым углом (\theta). Пусть другой катет равен (b), а гипотенуза равна (c).

Формула для радиуса (r) вписанного круга в любом треугольнике выражается через его площадь (S) и полупериметр (p):

[ r = \frac{S}{p} ]

Для прямоугольного треугольника площадь (S) равна (\frac{1}{2}ab).

Полупериметр (p) прямоугольного треугольника:

[ p = \frac{a + b + c}{2} ]

Чтобы выразить (b) и (c) через (a) и (\theta), используем тригонометрические функции:

[ b = a \tan(\theta) ]

[ c = \frac{a}{\cos(\theta)} ]

Теперь можно подставить эти значения в формулы для площади и полупериметра:

[ S = \frac{1}{2} a (a \tan(\theta)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\theta) ]

[ p = \frac{a + a \tan(\theta) + \frac{a}{\cos(\theta)}}{2} ]

Теперь подставим значения (S) и (p) в формулу для радиуса (r):

[ r = \frac{\frac{1}{2} a^2 \tan(\theta)}{\frac{a + a \tan(\theta) + \frac{a}{\cos(\theta)}}{2}} ]

Сократим (a) в числителе и знаменателе:

[ r = \frac{a \tan(\theta)}{a + a \tan(\theta) + \frac{a}{\cos(\theta)}} ]

Упростим:

[ r = \frac{\tan(\theta)}{1 + \tan(\theta) + \frac{1}{\cos(\theta)}} ]

Теперь найдем площадь круга, используя формулу для площади круга (A = \pi r^2):

[ A = \pi \left(\frac{\tan(\theta)}{1 + \tan(\theta) + \frac{1}{\cos(\theta)}}\right)^2 ]

Таким образом, площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, выражается через известные катет (a) и угол (\theta).