Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания коαторого равны...

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна S = 2(ab + a√(b^2 + a^2)sin(α))

Для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда с основаниями, стороны которых равны ( a ) и ( b ), и диагональю, наклоненной к плоскости основания под углом ( \alpha ), мы будем следовать следующим шагам:

1. Определим высоту параллелепипеда: Диагональ прямоугольного параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом ( \alpha ). Обозначим длину диагонали параллелепипеда как ( d ). В прямоугольном параллелепипеде диагональ ( d ) выражается через длины сторон и высоту ( h ) следующим образом: [ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} ] Из условия задачи известно, что диагональ наклонена к плоскости основания под углом ( \alpha ). Это означает, что угол между диагональю и плоскостью основания равен ( \alpha ). Косинус этого угла равен отношению проекции диагонали на плоскость основания к самой диагонали. Проекция диагонали на плоскость основания равна длине диагонали основания: [ \cos \alpha = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{d} ] Подставим выражение для ( d ): [ \cos \alpha = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}} ] Возведем обе части уравнения в квадрат: [ \cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + h^2} ] Решим это уравнение относительно ( h^2 ): [ (a^2 + b^2) \cos^2 \alpha = a^2 + b^2 - \sin^2 \alpha (a^2 + b^2) ] [ (a^2 + b^2) \cos^2 \alpha = a^2 + b^2 - (1 - \cos^2 \alpha)(a^2 + b^2) ] [ (a^2 + b^2) \cos^2 \alpha = a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + (a^2 + b^2)\cos^2 \alpha ] [ h^2 = (a^2 + b^2)(1 - \cos^2 \alpha) = (a^2 + b^2)\sin^2 \alpha ] [ h = \sqrt{(a^2 + b^2)} \sin \alpha ]

2. Найдем площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из двух пар противоположных прямоугольников. Площадь одной пары прямоугольников с размерами ( a \times h ) равна ( 2ah ), а другой пары прямоугольников с размерами ( b \times h ) равна ( 2bh ). Суммарная площадь боковой поверхности ( S ) равна: [ S = 2ah + 2bh = 2h(a + b) ] Подставим найденное значение ( h ): [ h = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \alpha ] [ S = 2 \sqrt{a^2 + b^2} \sin \alpha (a + b) ]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: [ S = 2 \sqrt{a^2 + b^2} \sin \alpha (a + b) ]

Для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда с данными характеристиками используем формулу для площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2 h (a + b),

где h - высота параллелепипеда, а a и b - стороны основания.

Для нахождения высоты h воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда, его высотой и проекцией диагонали на плоскость основания. Получим:

h = cos(α) * √(a^2 + b^2).

Теперь можем подставить найденное значение высоты h в формулу для площади боковой поверхности:

S = 2 cos(α) √(a^2 + b^2) * (a + b).

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда с данными характеристиками равна 2 cos(α) √(a^2 + b^2) * (a + b).