Найдите площадь боковой и полной поверхности правильной призмы с основанием ABC, если диагональ ее боковой...

Для решения задачи начнем с анализа информации и использования геометрических соотношений.

1. Основание призмы ABC - поскольку призма правильная, основание представляет собой правильный многоугольник. В условии не указано, какой именно многоугольник (треугольник, квадрат и т.д.), поэтому мы предположим, что это треугольник.

2. Диагональ боковой грани равна 18 см и образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это ключевая информация для определения высоты призмы. Диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет - это высота призмы (h), а другой катет - это диагональ основания призмы.

   Используя тригонометрическое соотношение: [ h = 18 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \, \text{см} ]

3. Площадь боковой поверхности призмы. Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную высоте призмы ( h = 9\sqrt{3} \, \text{см} ), и ширину, равную стороне треугольника ABC. Пусть сторона основания равна ( a ). Тогда площадь боковой поверхности: [ S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h = 3 \cdot a \cdot 9\sqrt{3} = 27a\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

4. Площадь полной поверхности призмы включает в себя площадь боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания (правильный треугольник) вычисляется по формуле: [ S{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ] Таким образом, площадь полной поверхности: [ S{полн} = 27a\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 27a\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 \, \text{см}^2 ]

Чтобы найти численные значения площадей, нам необходимо знать длину стороны ( a ) основания. Если предположить, что основание - равносторонний треугольник, и использовать диагональ основания для определения ( a ), которая проходит через две вершины и делит третью вершину пополам (высота треугольника), то можно выразить ( a ) через известные величины. Например, если диагональ основания равна ( d ) и она является высотой треугольника, то ( d = \frac{\sqrt{3}}{2}a ). Получаем, что ( a ) и ( d ) связаны, и зная ( d ), можно найти ( a ).

Для полного решения задачи потребуется дополнительная информация о стороне основания или диагонали основания.

Площадь боковой поверхности правильной призмы с основанием ABC равна Sб = 3√3 * a^2, где a - сторона основания. Площадь полной поверхности равна Sп = 2Sб + Sосн, где Sосн - площадь основания.

Для начала, найдем высоту призмы. Обозначим высоту призмы как h, а сторону основания ABC как a. Так как угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен 60 градусам, то мы можем построить равносторонний треугольник со стороной a и диагональю боковой грани. Тогда по теореме косинусов:

(a^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot \cos(60^\circ))

(a^2 = 648 - 648 \cdot \frac{1}{2})

(a^2 = 648 - 324)

(a^2 = 324)

(a = 18)

Таким образом, сторона основания призмы равна 18 см. Далее, найдем высоту призмы h, воспользовавшись теоремой Пифагора:

(h = \sqrt{18^2 - 9^2})

(h = \sqrt{324 - 81})

(h = \sqrt{243})

(h = 3 \cdot \sqrt{27} = 9\sqrt{3})

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:

(S{бок} = P{осн} \cdot h = 18 \cdot 9\sqrt{3} = 162\sqrt{3} \, см^2)

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований:

(S{полн} = S{бок} + 2 \cdot P_{осн} = 162\sqrt{3} + 2 \cdot 18^2 = 162\sqrt{3} + 648 = 162(\sqrt{3} + 4) \, см^2)

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной призмы с основанием ABC равна (162\sqrt{3} \, см^2), а площадь полной поверхности равна (162(\sqrt{3} + 4) \, см^2).