Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующая сектор, составляет треть диаметра шара.
Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующая сектор, составляет треть диаметра шара.
Для нахождения объема шарового сектора, важно понимать, что такой сектор ограничивается сферической поверхностью и конусом, вершина которого находится в центре шара.
Радиус шара (R): 6 см.
Высота конуса (h): составляет треть диаметра шара. Поскольку диаметр шара равен 2R, то есть 12 см, то: [ h = \frac{1}{3} \times 12 \text{ см} = 4 \text{ см} ]
Радиус основания конуса (r): можно найти, используя теорему Пифагора для радиуса шара (R) и высоты конуса (h), так как вершина конуса находится в центре шара, а основание конуса лежит на поверхности шара: [ r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см} ]
Объем шарового сектора (V): формула для объема шарового сектора выражается через радиус шара и высоту сегмента (конуса), которую мы уже нашли: [ V = \frac{\pi h}{6} (3r^2 + h^2) ] Подставляем значения: [ V = \frac{\pi \times 4}{6} (3 \times (2\sqrt{5})^2 + 4^2) = \frac{4\pi}{6} (3 \times 20 + 16) = \frac{4\pi}{6} (60 + 16) = \frac{4\pi}{6} \times 76 = \frac{304\pi}{6} = \frac{152\pi}{3} ] Таким образом, объем шарового сектора составляет (\frac{152\pi}{3}) кубических сантиметров.
Это решение дает точный объем шарового сектора, основываясь на данных параметрах.
Для нахождения объема шарового сектора нам необходимо сначала найти объем конуса, который образует этот сектор, а затем вычислить долю объема шара, которую занимает этот конус.
Найдем высоту конуса. По условию задачи высота конуса равна трети диаметра шара, то есть h = 2r/3 = 2*6/3 = 4 см.
Найдем объем конуса. Формула для объема конуса: V = 1/3 π r^2 h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса. Подставляем значения: V = 1/3 π 6^2 4 = 1/3 π 36 * 4 = 48π см^3.
Найдем объем шара. Формула для объема шара: V = 4/3 π r^3, где r - радиус шара. Подставляем значение: V = 4/3 π 6^3 = 4/3 π 216 = 288π см^3.
Найдем долю объема шара, которую занимает конус. Для этого нужно найти отношение объема конуса к объему шара: V_сектора = V_конуса / V_шара = 48π / 288π = 1/6.
Таким образом, объем шарового сектора, образованного конусом с высотой, равной трети диаметра шара, равен 1/6 от объема всего шара.
