Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое...

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды сначала нужно найти площадь основания. Поскольку у нас четырехугольная пирамида, ее основание можно разделить на два треугольника. Таким образом, площадь основания равна площади двух равнобедренных треугольников.

Поскольку у нас известна диагональ основания, мы можем найти длину стороны основания с помощью теоремы Пифагора. Пусть a - сторона основания. Тогда a^2 + a^2 = 4^2, откуда a = 2√2 см.

Теперь найдем высоту пирамиды. Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов, то высота пирамиды равна h = a tg(45) = 2√2 tg(45) = 2 см.

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Подставляем найденные значения: V = (1/3) 2 2 = 4 кубических сантиметра.

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 4 кубических сантиметра.

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания и высоту пирамиды. Давайте разберем проблему шаг за шагом.

1. Найдите сторону основания: Основание пирамиды является квадратом. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника. Если сторона квадрата равна ( a ), то диагональ ( d ) выражается через ( a ) следующим образом: [ d = a\sqrt{2} ] Нам известно, что диагональ основания равна 4 см: [ 4 = a\sqrt{2} ] Решим это уравнение для ( a ): [ a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см} ]

2. Высота пирамиды: Боковое ребро пирамиды образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Обозначим боковое ребро как ( l ), высоту пирамиды как ( h ), и апофему основания (расстояние от центра основания до середины бокового ребра) как ( r ).

   В правильной четырехугольной пирамиде апофема основания равна половине диагонали квадрата: [ r = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см} ]

   В треугольнике, образованном высотой, апофемой и боковым ребром, угол между высотой и боковым ребром равен 45 градусов. Используя тригонометрические функции: [ \tan(45^\circ) = \frac{r}{h} ] Поскольку ( \tan(45^\circ) = 1 ): [ 1 = \frac{2}{h} \implies h = 2 \, \text{см} ]

3. Объем пирамиды: Формула для объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \times S{\text{основания}} \times h ] Площадь основания (квадрата): [ S{\text{основания}} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \, \text{см}^2 ] Подставляем значения в формулу объема: [ V = \frac{1}{3} \times 8 \, \text{см}^2 \times 2 \, \text{см} = \frac{16}{3} \, \text{см}^3 \approx 5.33 \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( \frac{16}{3} ) кубических сантиметров или приблизительно 5.33 кубических сантиметров.