Найдите обём прямой призмы АВСА1В1С1,если угол АСВ=90 градусов,угол ВАС=30 градусам,АВ=а,СВ=ВВ1.

Для того чтобы найти объем прямой призмы ( ABCA_1B_1C_1 ), нужно сначала определить площадь основания ( ABC ) и затем умножить ее на высоту призмы, которая равна длине ребра ( BB_1 ).

1. Определение площади основания ( ABC ): Поскольку угол ( ACB ) равен 90 градусов, треугольник ( ABC ) является прямоугольным, и его гипотенуза ( AB ), противолежащий катет к углу ( BAC ), который равен 30 градусов, - это ( AC ), а прилежащий катет - это ( BC ).

   Так как угол ( BAC ) равен 30 градусов, то можно использовать свойства прямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов. В таком треугольнике длина катета, лежащего против угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы, а другой катет (против угла в 60 градусов) в ( \sqrt{3} ) раз больше первого катета.

   Таким образом:

   • ( AC = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} )
   • ( BC = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} )

   Площадь ( S ) прямоугольного треугольника ( ABC ) можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} ]

2. Высота призмы ( BB_1 ): По условию, ( BB_1 ) равно ( BC ), то есть ( BB_1 = \frac{a \sqrt{3}}{2} ).

3. Объем призмы: Объем ( V ) прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту: [ V = S \times BB_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{8 \times 2} = \frac{3a^3}{16} ]

Итак, объем прямой призмы ( ABCA_1B_1C_1 ) равен ( \frac{3a^3}{16} ).

Для нахождения объема прямой призмы, необходимо умножить площадь основания на высоту.

1. Найдем площадь основания. Поскольку у нас прямоугольная призма, площадь основания будет равна произведению длины и ширины основания. Обозначим длину стороны АВ как "а", а стороны ВВ1 как "b". Таким образом, площадь основания равна а * b.

2. Найдем высоту призмы. Высота призмы равна расстоянию между плоскостями оснований АВСА1В1С1 и А1В1С1, что равно ВС.

3. Теперь найдем длину ВС. Из условия известно, что угол ВАС равен 30 градусам, а угол АСВ равен 90 градусов. Так как угол ВАС равен 30 градусов, то угол ВА1С1 также равен 30 градусам, так как противоположные углы при параллельных прямых равны. Таким образом, треугольник ВА1С1 является равносторонним, так как у него все стороны равны, а угол между ними равен 30 градусам. Из равностороннего треугольника следует, что ВС = В1С1 = ВА = а.

4. Теперь можем вычислить объем прямой призмы. Объем призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = (а b) а = а^2 * b.

Таким образом, объем прямой призмы АВСА1В1С1 равен а^2 * b.