Найдите меньший угол параллелограмма, если его стороны равны 1 и корню из 3, а одна из диагоналей равна...

Для нахождения меньшего угла параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим угол между сторонами 1 и корнем из 3 как α, а угол между сторонами корнем из 3 и диагональю (корень из 7) как β.

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то угол между сторонами корнем из 3 и корнем из 7 также равен α. Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника с сторонами 1, корнем из 3 и корнем из 7:

cos(α) = (1^2 + (√3)^2 - (√7)^2) / (2 1 √3) cos(α) = (1 + 3 - 7) / (2 √3) cos(α) = -3 / (2 √3) cos(α) = -√3 / 3

Из этого следует, что α = arccos(-√3 / 3) ≈ 150.9 градусов.

Таким образом, меньший угол параллелограмма равен приблизительно 150.9 градусов.

Чтобы найти меньший угол параллелограмма, воспользуемся известными данными: стороны параллелограмма равны ( a = 1 ) и ( b = \sqrt{3} ), а одна из диагоналей равна ( d_1 = \sqrt{7} ).

Диагонали параллелограмма связаны с углами и сторонами следующим соотношением, вытекающим из теоремы косинусов:

[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta, ]

где (\theta) — угол между сторонами (a) и (b).

Подставим известные значения в это уравнение:

[ (\sqrt{7})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \theta. ]

Упростим выражение:

[ 7 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cos \theta, ]

[ 7 = 4 - 2\sqrt{3} \cos \theta. ]

Выразим (\cos \theta):

[ 7 - 4 = -2\sqrt{3} \cos \theta, ]

[ 3 = -2\sqrt{3} \cos \theta, ]

[ \cos \theta = -\frac{3}{2\sqrt{3}}. ]

Упростим дробь:

[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Зная, что (\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}), определяем (\theta). Это значение косинуса соответствует углу (\theta = 150^\circ) (так как косинус отрицательный во второй четверти).

Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, и сумма двух соседних углов равна (180^\circ), то меньший угол (\phi) будет:

[ \phi = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ. ]

Таким образом, меньший угол параллелограмма равен (30^\circ).