Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма АВСD, если В(-7; 6; 7) С(4; -2; -3) D(-3; 8; -5)
Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма АВСD, если В(-7; 6; 7) С(4; -2; -3) D(-3; 8; -5)
Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD можно воспользоваться тем фактом, что диагонали параллелограмма делятся друг другом пополам.
Пусть A(x, y, z) - координаты четвертой вершины. Тогда по условию координаты точек B, C и D известны.
Сначала найдем координаты середины диагонали BD. Для этого сложим координаты точек B и D, и поделим полученную сумму на 2: ((x_B + x_D) / 2; (y_B + y_D) / 2; (z_B + z_D) / 2) = ((-7 - 3) / 2; (6 + 8) / 2; (7 - 5) / 2) = (-5; 7; 1)
Теперь мы можем записать уравнение, что середина диагонали BD равна середине диагонали AC: (-5; 7; 1) = ((x_A + x_C) / 2; (y_A + y_C) / 2; (z_A + z_C) / 2)
Раскроем скобки и решим систему уравнений: -5 = (x + 4) / 2 => x = -14 7 = (y - 2) / 2 => y = 16 1 = (z - 3) / 2 => z = 5
Итак, координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD равны (-14; 16; 5).
Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ( A ) воспользуемся свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что средние точки диагоналей параллелограмма равны.
Пусть точки ( A(x, y, z) ), ( B(-7, 6, 7) ), ( C(4, -2, -3) ), ( D(-3, 8, -5) ).
Зная координаты вершин ( B ), ( C ) и ( D ), найдем координаты точки ( A ), используя равенство средних точек диагоналей ( AC ) и ( BD ).
Найдем среднюю точку диагонали ( BD ): [ M_{BD} = \left( \frac{-7 + 4}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}, \frac{7 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{-3}{2}, 2, 2 \right). ]
Найдем среднюю точку диагонали ( AC ): [ M_{AC} = \left( \frac{x + 4}{2}, \frac{y - 2}{2}, \frac{z - 3}{2} \right). ]
Поскольку ( M{BD} = M{AC} ), приравняем соответствующие координаты: [ \frac{x + 4}{2} = \frac{-3}{2}, \quad \frac{y - 2}{2} = 2, \quad \frac{z - 3}{2} = 2. ]
Решим эти уравнения:
Для первой координаты: [ \frac{x + 4}{2} = \frac{-3}{2} \quad \Rightarrow \quad x + 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -7. ]
Для второй координаты: [ \frac{y - 2}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad y - 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 6. ]
Для третьей координаты: [ \frac{z - 3}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad z - 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad z = 7. ]
Таким образом, координаты четвертой вершины ( A ) равны ( (-7, 6, 7) ).
Однако обратите внимание, что такие же координаты уже принадлежат вершине ( B ). Это означает, что, возможно, задача имеет бесконечное множество решений или требует дополнительной проверки данных. В типичных условиях задачи на параллелограмм точка ( A ) будет уникальной, если не допущена ошибка в исходных данных.
