Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см. Сторона ромба равна...

Конечно, давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку и решим задачи подробно.

Задача 1: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см

Дано:

• Катет ( a = 25 ) см
• Катет ( b = 60 ) см

Найти:

• Гипотенузу ( c )

Решение: Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника используется теорема Пифагора: [ c^2 = a^2 + b^2 ]

Подставим значения катетов: [ c^2 = 25^2 + 60^2 ] [ c^2 = 625 + 3600 ] [ c^2 = 4225 ]

Найдем ( c ) (извлечем квадратный корень): [ c = \sqrt{4225} ] [ c = 65 ]

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 65 см.

Задача 2: Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей – 16 см. Найдите вторую диагональ.

Дано:

• Сторона ромба ( a = 10 ) см
• Одна из диагоналей ( d_1 = 16 ) см

Найти:

• Вторую диагональ ( d_2 )

Решение: В ромбе диагонали перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника. Пусть диагонали ( d_1 ) и ( d_2 ) пересекаются в точке ( O ), тогда каждая диагональ делится пополам: [ d_1 = 16 \implies \frac{d_1}{2} = 8 ]

Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: [ a = 10 ] [ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 ]

Подставим значения: [ 8^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2 ] [ 64 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100 ] [ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100 - 64 ] [ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 36 ]

Извлечем квадратный корень: [ \frac{d_2}{2} = 6 ] [ d_2 = 12 ]

Ответ: Вторая диагональ ромба равна 12 см.

Задача 3: В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а высота, проведенная к основанию, 5 см. Найдите площадь этого треугольника.

Дано:

• Боковая сторона ( a = 13 ) см
• Высота ( h = 5 ) см

Найти:

• Площадь треугольника ( S )

Решение: Высота, проведенная к основанию ( b ), делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть основание ( b ) равнобедренного треугольника делится на две части по ( \frac{b}{2} ).

Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: [ a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 ]

Подставим значения: [ 13^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 5^2 ] [ 169 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 25 ] [ \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 169 - 25 ] [ \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 144 ]

Извлечем квадратный корень: [ \frac{b}{2} = 12 ] [ b = 24 ]

Теперь найдем площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \times b \times h ] [ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 ] [ S = 12 \times 5 ] [ S = 60 ]

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна 60 см².

1. Дано: катеты равны 25 см и 60 см Найти: гипотенузу Решение: используем теорему Пифагора, согласно которой гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов Гипотенуза = √(25^2 + 60^2) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см

2. Дано: сторона ромба равна 10 см, одна диагональ - 16 см Найти: вторую диагональ Решение: в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Половина второй диагонали - высота прямоугольного треугольника, образованного диагоналями и стороной ромба Высота: √(16^2 - 5^2) = √(256 - 25) = √231 Вторая диагональ: 2 * √231 = 2√231 см

3. Дано: боковая сторона равна 13 см, высота к основанию - 5 см Найти: площадь треугольника Решение: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту Площадь = (13 * 5) / 2 = 32.5 см^2.