Найдите cos β, tg β и ctg β, если sin β 4/5

cos β = √(1 - sin^2 β) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

tg β = sin β / cos β = (4/5) / (3/5) = 4/3

ctg β = 1 / tg β = 1 / (4/3) = 3/4

Дано, что sin β = 4/5. Используя тригонометрическое тождество sin^2 β + cos^2 β = 1, можем найти cos β:

cos β = √(1 - sin^2 β) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

Теперь можем найти tg β и ctg β:

tg β = sin β / cos β = (4/5) / (3/5) = 4/3

ctg β = 1 / tg β = 1 / (4/3) = 3/4

Итак, если sin β = 4/5, то cos β = 3/5, tg β = 4/3 и ctg β = 3/4.

Чтобы найти ( \cos \beta ), ( \tan \beta ) и ( \cot \beta ), зная, что ( \sin \beta = \frac{4}{5} ), можно использовать фундаментальные тригонометрические тождества и свойства прямоугольного треугольника.

1. Определение ( \cos \beta ):

   Из тригонометрической идентичности: [ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 ]

   Подставим известное значение ( \sin \beta ): [ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1 ] [ \frac{16}{25} + \cos^2 \beta = 1 ] [ \cos^2 \beta = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ]

   Поскольку ( \cos \beta ) может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от квадранта, в котором находится угол ( \beta ), мы получаем: [ \cos \beta = \pm \frac{3}{5} ]

2. Определение ( \tan \beta ):

   Тангенс угла ( \beta ) определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} ]

   Подставляя значения, получаем два возможных значения для ( \tan \beta ): [ \tan \beta = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} ] или, если ( \cos \beta = -\frac{3}{5} ): [ \tan \beta = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} ]

3. Определение ( \cot \beta ):

   Котангенс угла ( \beta ) является обратной величиной тангенса: [ \cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} ]

   Следовательно, возможные значения для ( \cot \beta ) будут: [ \cot \beta = \frac{3}{4} ] или [ \cot \beta = -\frac{3}{4} ]

Таким образом, для ( \beta ), где ( \sin \beta = \frac{4}{5} ), возможны два набора значений для других тригонометрических функций в зависимости от знака косинуса:

1. Если ( \cos \beta = \frac{3}{5} ):

   • ( \tan \beta = \frac{4}{3} )
   • ( \cot \beta = \frac{3}{4} )

2. Если ( \cos \beta = -\frac{3}{5} ):

   • ( \tan \beta = -\frac{4}{3} )
   • ( \cot \beta = -\frac{3}{4} )

Выбор между ними зависит от квадранта, в котором находится угол ( \beta ). Например, если ( \beta ) находится в первом квадранте, где все функции положительны, следует выбрать первый набор значений. Если ( \beta ) находится во втором квадранте, где косинус отрицателен и синус положителен, следует выбрать второй набор значений.