На высоте равнобедренного треугольника АВС, проведенной к основанию АС, взята точка Р, а на сторонах...

а) Углы ВМР и ВКР равны, так как треугольник ВМР равнобедренный (ВМ = ВК) и высота треугольника делит основание пополам, следовательно, углы при основании равны.

б) Углы КМР и РКМ равны, так как треугольники КМР и РКМ равны по двум сторонам и общему углу, следовательно, углы при основании равны.

Для доказательства равенства углов ВМР и ВКР воспользуемся равенством треугольников ВМР и ВКР. Так как ВМ = ВК (по условию), а также угол В равен самому себе, у нас есть два равных катета и общий угол В. Следовательно, по признаку равенства треугольников углы ВМР и ВКР равны.

Для доказательства равенства углов КМР и РКМ воспользуемся тем, что треугольник КРМ является равнобедренным (так как ВМ = ВК и углы ВМР и ВКР равны). Значит, углы при основании равнобедренного треугольника также равны. Таким образом, углы КМР и РКМ равны.

Таким образом, доказано, что углы ВМР и ВКР равны, а также углы КМР и РКМ равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ), где ( AB = BC ) и ( P ) — точка на высоте ( h ), проведенной из вершины ( B ) на основание ( AC ). На сторонах ( AB ) и ( BC ) взяты точки ( M ) и ( K ) соответственно, такие что ( BM = BK ) и точки ( M ), ( P ) и ( K ) не лежат на одной прямой.

а) Доказать, что углы ( \angle BMR ) и ( \angle BKR ) равны.

Рассмотрим треугольники ( \triangle BMR ) и ( \triangle BKR ).

1. По условию ( BM = BK ).
2. Точка ( P ) лежит на высоте ( h ), поэтому ( BP ) является перпендикуляром к ( AC ). Следовательно, ( \angle BPA = \angle BPC = 90^\circ ).

Пусть ( \angle ABP = \alpha ) и ( \angle CBP = \beta ). Так как треугольник равнобедренный, то ( \alpha = \beta ).

Теперь рассмотрим углы при вершине ( B ):

• ( \angle ABM = \alpha )
• ( \angle CBK = \beta )

Поскольку ( BM = BK ), треугольники ( \triangle ABM ) и ( \triangle CBK ) равны по двум сторонам и углу между ними ( (BM = BK, \angle ABM = \angle CBK) ). Следовательно, углы ( \angle BMR ) и ( \angle BKR ) равны по соответствующим углам равных треугольников.

Таким образом, ( \angle BMR = \angle BKR ).

б) Доказать, что углы ( \angle KMR ) и ( \angle RKM ) равны.

Пусть ( \angle BMR = \angle BKR = \theta ). Теперь рассмотрим треугольники ( \triangle BMR ) и ( \triangle BKR ):

1. В треугольниках ( \triangle BMR ) и ( \triangle BKR ):
   • ( BM = BK ) (по условию),
   • ( BR ) — общая сторона,
   • ( \angle BMR = \angle BKR = \theta ).

Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по 2-ой теореме равенства треугольников). Следовательно, ( MR = KR ).

Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle MRK ):

1. В треугольнике ( \triangle MRK ):
   • ( MR = KR ) (доказано выше),
   • ( \angle BMR = \angle BKR = \theta ).

Так как ( MR = KR ), треугольник ( \triangle MRK ) равнобедренный, и углы при основании равны. Следовательно, ( \angle KMR = \angle RKM ).

Таким образом, углы ( \angle KMR ) и ( \angle RKM ) равны.

Таким образом, обе части задачи доказаны: а) углы ( \angle BMR ) и ( \angle BKR ) равны; б) углы ( \angle KMR ) и ( \angle RKM ) равны.