На стороне ВС прямоугольника АВС у которого АВ = 20 и АD=41 отмечена точка Е так что угол ЕАВ =45° Найдите...

Чтобы решить данную задачу, начнем с анализа информации и построения чертежа.

1. Анализ задачи и построение фигуры:

   • Прямоугольник ( ABCD ) с известными сторонами ( AB = 20 ) и ( AD = 41 ).
   • Точка ( E ) находится на стороне ( BC ), причем ( \angle EAB = 45^\circ ).

2. Использование свойств прямоугольника и угла в 45°:

   • Прямоугольник означает, что углы между смежными сторонами составляют ( 90^\circ ).
   • Угол ( \angle EAB = 45^\circ ) указывает, что треугольник ( EAB ) является равнобедренным прямоугольным треугольником, так как угол в ( 45^\circ ) означает равенство сторон, примыкающих к этому углу.

3. Нахождение размеров и расстояний:

   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике ( EAB ), стороны ( EA ) и ( EB ) равны.
   • Из условия ( AB = 20 ) и того, что ( \angle EAB = 45^\circ ), получаем, что ( EA = EB = AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} ).
   • Так как ( E ) лежит на ( BC ), и ( BC = AD = 41 ) (по свойствам прямоугольника), то ( EC = BC - EB = 41 - 10\sqrt{2} ).

4. Использование теоремы Пифагора для нахождения ( ED ):

   • В треугольнике ( EAD ), ( EA = 10\sqrt{2} ), ( AD = 41 ).
   • Применим теорему Пифагора: ( ED^2 = AD^2 - EA^2 = 41^2 - (10\sqrt{2})^2 = 1681 - 200 = 1481 ).
   • Таким образом, ( ED = \sqrt{1481} ).

5. Упрощение полученного значения:

   • ( \sqrt{1481} ) можно упростить далее, если разложить на простые множители: ( 1481 = 37 \times 40 ), но ( 40 ) не является полным квадратом, поэтому радикал останется в таком виде.

Итак, значение ( ED ) приблизительно равно ( \sqrt{1481} ), что можно вычислить при помощи калькулятора для точности.

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов.

Из условия задачи известно, что AB = 20, AD = 41 и угол EAB = 45°.

Найдем сначала угол BAE:

Угол BAE = 90° - угол EAB = 90° - 45° = 45°.

Теперь найдем угол ABE:

Угол ABE = 180° - (угол BAE + угол EAB) = 180° - (45° + 45°) = 90°.

Теперь можем применить теорему косинусов в треугольнике ABE:

AB^2 = AE^2 + BE^2 - 2 AE BE * cos(ABE),

20^2 = AE^2 + BE^2 - 2 AE BE * cos(90°),

400 = AE^2 + BE^2 - 2 AE BE * 0,

400 = AE^2 + BE^2.

Так как AE + BE = AD = 41, то BE = 41 - AE. Подставляем это в уравнение:

400 = AE^2 + (41 - AE)^2,

400 = AE^2 + 1681 - 82AE + AE^2,

2AE^2 - 82AE + 1281 = 0.

Решаем это уравнение и находим значения AE. После этого можем легко найти ED:

ED = AD - AE.

Для нахождения ED воспользуемся теоремой косинусов: ED^2 = EA^2 + AD^2 - 2 EA AD cos(EAD) ED^2 = 20^2 + 41^2 - 2 20 41 cos(45°) ED^2 = 400 + 1681 - 820 sqrt(2) ED^2 = 2081 - 820 sqrt(2) ED = sqrt(2081 - 820 * sqrt(2)) ≈ 11.08

Ответ: ED ≈ 11.08