На стороне BC прямоугольника ABCD отмечена точка K так , что BK : KC = 3 : 4 . Выразите векторы AK ,...

Для начала найдем вектор BC: BC = b - a

Теперь найдем вектор CK: CK = BC (4 / 7) = (b - a) (4 / 7)

Теперь можем найти вектор BK: BK = BC - CK = b - a - (b - a) (4 / 7) = (3 / 7) (b - a)

Теперь можем найти вектор AK: AK = AB + BK = a + (3 / 7) * (b - a) = (4a + 3b) / 7

Также найдем вектор DC: DC = AD - BC = a - b

Теперь можем найти вектор DK: DK = DC + CK = a - b + (b - a) (4 / 7) = (3 / 7) (b - a) = (3b - 3a) / 7

Итак, выразили векторы AK и DK через векторы a и b.

Для решения задачи необходимо выразить векторы ( \mathbf{AK} ) и ( \mathbf{DK} ) через базисные векторы ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} ).

1. Определим координаты точек:

   • Пусть ( A ) находится в начале координат: ( A(0, 0) ).
   • ( B ) будет находиться на оси ( x ): ( B(a, 0) ).
   • ( D ) будет на оси ( y ): ( D(0, b) ).
   • ( C ), соответственно, будет иметь координаты ( C(a, b) ).

2. Определим координаты точки ( K ):

   Точка ( K ) делит отрезок ( BC ) в отношении ( 3:4 ). Для нахождения координат ( K ) используем формулу для деления отрезка в заданном отношении:

   [ K = \left( \frac{4x_B + 3x_C}{4 + 3}, \frac{4y_B + 3y_C}{4 + 3} \right) ]

   Подставляя координаты ( B ) и ( C ):

   [ K = \left( \frac{4a + 3a}{7}, \frac{4 \cdot 0 + 3b}{7} \right) = \left( \frac{7a}{7}, \frac{3b}{7} \right) = \left( a, \frac{3b}{7} \right) ]

3. Выражение вектора ( \mathbf{AK} ):

   Вектор ( \mathbf{AK} ) направлен от точки ( A ) к точке ( K ). Его координаты:

   [ \mathbf{AK} = \overrightarrow{AK} = K - A = \left( a, \frac{3b}{7} \right) - (0, 0) = \left( a, \frac{3b}{7} \right) ]

   Вектор ( \mathbf{AK} ) можно записать через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

   [ \mathbf{AK} = a \mathbf{i} + \frac{3b}{7} \mathbf{j} = \mathbf{a} + \frac{3}{7} \mathbf{b} ]

4. Выражение вектора ( \mathbf{DK} ):

   Вектор ( \mathbf{DK} ) направлен от точки ( D ) к точке ( K ). Его координаты:

   [ \mathbf{DK} = \overrightarrow{DK} = K - D = \left( a, \frac{3b}{7} \right) - (0, b) = \left( a, \frac{3b}{7} - b \right) = \left( a, \frac{3b - 7b}{7} \right) = \left( a, -\frac{4b}{7} \right) ]

   Вектор ( \mathbf{DK} ) можно записать через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

   [ \mathbf{DK} = a \mathbf{i} - \frac{4b}{7} \mathbf{j} = \mathbf{a} - \frac{4}{7} \mathbf{b} ]

Таким образом, векторы ( \mathbf{AK} ) и ( \mathbf{DK} ) выражаются через базисные векторы ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} ) следующим образом:

[ \mathbf{AK} = \mathbf{a} + \frac{3}{7} \mathbf{b} ]

[ \mathbf{DK} = \mathbf{a} - \frac{4}{7} \mathbf{b} ]