На стороне BC прямоугольника ABCD отмечена точка K так , что BK : KC = 3 : 4 . Выразите векторы AK ,...

Для начала найдем вектор BC: BC = b - a

Теперь найдем вектор CK: CK = BC $4/7$ = $b-a$ $4/7$

Теперь можем найти вектор BK: BK = BC - CK = b - a - $b-a$ $4/7$ = $3/7$ $b-a$

Теперь можем найти вектор AK: AK = AB + BK = a + $3/7$ * $b-a$ = $4a+3b$ / 7

Также найдем вектор DC: DC = AD - BC = a - b

Теперь можем найти вектор DK: DK = DC + CK = a - b + $b-a$ $4/7$ = $3/7$ $b-a$ = $3b-3a$ / 7

Итак, выразили векторы AK и DK через векторы a и b.

Для решения задачи необходимо выразить векторы $\mathbf{AK}$ и $\mathbf{DK}$ через базисные векторы $\mathbf{a}=\mathbf{AB}$ и $\mathbf{b}=\mathbf{AD}$.

1. Определим координаты точек:

   • Пусть $A$ находится в начале координат: $A(0,0$ ).
   • $B$ будет находиться на оси $x$: $B(a,0$ ).
   • $D$ будет на оси $y$: $D(0,b$ ).
   • $C$, соответственно, будет иметь координаты $C(a,b$ ).

2. Определим координаты точки $K$:

   Точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $3:4$. Для нахождения координат $K$ используем формулу для деления отрезка в заданном отношении:

   $K=(\frac{4x_B+3x_C}{4+3},\frac{4y_B+3y_C}{4+3})$

   Подставляя координаты $B$ и $C$:

   $K=(\frac{4a+3a}{7},\frac{4\cdot 0+3b}{7})=(\frac{7a}{7},\frac{3b}{7})=(a,\frac{3b}{7})$

3. Выражение вектора $\mathbf{AK}$:

   Вектор $\mathbf{AK}$ направлен от точки $A$ к точке $K$. Его координаты:

   $\mathbf{AK}=\overrightarrow{AK}=K-A=(a,\frac{3b}{7})-(0,0)=(a,\frac{3b}{7})$

   Вектор $\mathbf{AK}$ можно записать через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

   $\mathbf{AK}=a\mathbf{i}+\frac{3b}{7}\mathbf{j}=\mathbf{a}+\frac{3}{7}\mathbf{b}$

4. Выражение вектора $\mathbf{DK}$:

   Вектор $\mathbf{DK}$ направлен от точки $D$ к точке $K$. Его координаты:

   $\mathbf{DK}=\overrightarrow{DK}=K-D=(a,\frac{3b}{7})-(0,b)=(a,\frac{3b}{7}-b)=(a,\frac{3b-7b}{7})=(a,-\frac{4b}{7})$

   Вектор $\mathbf{DK}$ можно записать через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

   $\mathbf{DK}=a\mathbf{i}-\frac{4b}{7}\mathbf{j}=\mathbf{a}-\frac{4}{7}\mathbf{b}$

Таким образом, векторы $\mathbf{AK}$ и $\mathbf{DK}$ выражаются через базисные векторы $\mathbf{a}=\mathbf{AB}$ и $\mathbf{b}=\mathbf{AD}$ следующим образом:

$\mathbf{AK}=\mathbf{a}+\frac{3}{7}\mathbf{b}$

$\mathbf{DK}=\mathbf{a}-\frac{4}{7}\mathbf{b}$