На рисунке в △ABD и CBD вписаны окружности с центрами О1 и О2 соответственно,угол ABC =50°.Найдите угол...

Рассмотрим задачу с треугольниками ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ), в которые вписаны окружности с центрами ( O_1 ) и ( O_2 ) соответственно. У нас дано, что угол ( \angle ABC = 50^\circ ). Требуется найти угол ( \angle O_1BO_2 ).

Разбор задачи:

1. Построение и обозначения:

   • Пусть вписанные окружности ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) касаются сторон треугольников. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника, а её центр лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
   • ( O_1 ) и ( O_2 ) — центры вписанных окружностей, следовательно, ( O_1 ) и ( O_2 ) лежат на биссектрисах углов ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) соответственно.

2. Угол между биссектрисами:

   • Центры вписанных окружностей ( O_1 ) и ( O_2 ) лежат на биссектрисах углов ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ). При этом биссектрисы углов ( \angle ABD ) и ( \angle CBD ) пересекаются в вершине ( B ).
   • Угол между биссектрисами ( \triangle ABD ) и ( \triangle CBD ) равен половине угла ( \angle ABC ), так как биссектриса делит угол пополам.

3. Вывод формулы:

   • Угол между биссектрисами ( \angle O_1BO_2 = \frac{1}{2} \cdot \angle ABC ).
   • Подставим значение ( \angle ABC = 50^\circ ): [ \angle O_1BO_2 = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ. ]

Ответ:

Угол ( \angle O_1BO_2 ) равен ( 25^\circ ).

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных и описанных окружностей треугольников. Рассмотрим треугольники (ABD) и (CBD) и их описанные окружности с центрами (O_1) и (O_2) соответственно.

1. Определение углов треугольников: Угол (ABC = 50^\circ) является внешним углом для треугольника (ABD). Следовательно, он равен сумме двух противолежащих внутренних углов, то есть: [ \angle ABC = \angle ADB + \angle ABD ]

2. Свойства вписанных углов: Угол, который опирается на дугу окружности, равен половине угла, который опирается на ту же дугу из другого конца. Таким образом, угол, образованный радиусами (O_1B) и (O_2B), равен разности половин углов (ABD) и (ACB).

3. Угол между радиусами: Угол (O_1BO_2) может быть найден через углы (O_1AB) и (O_2CB): [ \angle O_1BO_2 = \angle O_1AB + \angle O_2CB ]

4. Нахождение углов (O_1AB) и (O_2CB): Угол (O_1AB) равен половине угла (ABD), а угол (O_2CB) равен половине угла (CDB). Поскольку (CDB) является внутренним углом треугольника (BCD), его можно выразить через угол (ABC): [ \angle CDB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ ] Следовательно, [ \angle O_2CB = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ ]

5. Нахождение угла (O_1AB): Если обозначить угол (ABD) как (x), то: [ \angle O_1AB = \frac{1}{2} x ] Из условия (50^\circ = x + \angle ADB) следует, что (x) можно выразить через угол (ADB).

6. Суммирование углов: Теперь, зная, что: [ \angle O_1AB + \angle O_2CB = \frac{1}{2} x + 65^\circ ] Угол (O_1BO_2) будет равен: [ \angle O_1BO_2 = \frac{1}{2} x + 65^\circ ]

7. Подстановка значений: В зависимости от того, каковы значения углов (ABD) и (ACB), можно подставить их и получить конкретный ответ.

В итоге, для нахождения угла (O_1BO_2) необходимо решить систему уравнений, связывающую углы треугольников. Ответ будет зависеть от конкретных значений углов (ABD) и (ACB).