На продолжении основания ВС равнобедренного треугольника АВС за точку В отметили точку М такую, что...

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ), в котором ( AB = AC ). Нам дано, что на продолжении основания ( BC ) за точку ( B ) отмечена точка ( M ) такая, что ( \angle MVA = 128^\circ ). Необходимо найти угол между боковой стороной ( AC ) и биссектрисой угла ( \angle ACB ).

Обозначим угол ( \angle BAC = 2\alpha ), тогда углы при основании равнобедренного треугольника равны: ( \angle ABC = \angle ACB = \beta ).

Так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), имеем уравнение: [ 2\alpha + 2\beta = 180^\circ. ] Отсюда: [ \alpha + \beta = 90^\circ. ]

Теперь рассматриваем точку ( M ). Поскольку ( M ) лежит на продолжении ( BC ), угол ( \angle MVA = 128^\circ ) является внешним углом треугольника ( \triangle ABC ). Внешний угол равен сумме противоположных внутренних углов, то есть: [ \angle MVA = \angle BAC + \angle ACB = 2\alpha + \beta. ]

Подставляя значение ( \angle MVA = 128^\circ ), получаем: [ 2\alpha + \beta = 128^\circ. ]

У нас есть две системы уравнений:

1. ( \alpha + \beta = 90^\circ )
2. ( 2\alpha + \beta = 128^\circ )

Из первого уравнения выразим ( \beta ): [ \beta = 90^\circ - \alpha. ]

Подставим это значение в второе уравнение: [ 2\alpha + (90^\circ - \alpha) = 128^\circ. ] [ 2\alpha + 90^\circ - \alpha = 128^\circ. ] [ \alpha + 90^\circ = 128^\circ. ] [ \alpha = 38^\circ. ]

Теперь подставим ( \alpha = 38^\circ ) в выражение для ( \beta ): [ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ. ]

Биссектриса угла ( \angle ACB ) делит его на два равных угла по ( \frac{\beta}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ ).

Итак, нам нужно найти угол между боковой стороной ( AC ) и биссектрисой угла ( \angle ACB ). Этот угол равен: [ \angle ACX = \angle ACB - \frac{\beta}{2} = 52^\circ - 26^\circ = 26^\circ. ]

Таким образом, угол между боковой стороной ( AC ) и биссектрисой угла ( \angle ACB ) равен ( 26^\circ ).

Для нахождения угла между боковой стороной АС и биссектрисой угла АСВ воспользуемся свойством равнобедренного треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что треугольник АВС равнобедренный, а значит угол ВАС = угол ВСА. Также мы знаем, что угол МВА = 128°.

Так как угол ВАС = угол ВСА, то угол ВАС = угол ВСА = (180° - угол ВАС) / 2 = (180° - 128°) / 2 = 26°.

Теперь у нас есть угол ВАС, и мы можем найти угол между боковой стороной АС и биссектрисой угла АСВ, который равен половине суммы углов ВАС и ВСА:

Угол ВАСВ = (угол ВАС + угол ВСА) / 2 = (26° + 26°) / 2 = 26°.

Итак, угол между боковой стороной АС и биссектрисой угла АСВ равен 26°.