На плоскости 6 точек, никакие три не лежат на одной прямой. Через каждые две с этих точек провели прямую....

Чтобы найти наибольшее количество потроенных точек, нужно определить, сколько прямых можно провести через каждую из 6 точек. Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, через каждую точку можно провести 5 прямых (по две через каждую из оставшихся 5 точек).

Таким образом, общее количество возможных прямых, проведенных через все 6 точек, равно 6 * 5 = 30.

Теперь, чтобы найти количество потроенных точек, нам нужно разделить общее количество возможных прямых на 3 (так как каждая потроенная точка лежит на трех прямых). Получаем: 30 / 3 = 10.

Следовательно, наибольшее количество потроенных точек равно 10.

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных условий. У нас есть 6 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Из каждой пары этих точек проведена прямая. Нам необходимо найти количество "построенных" точек, то есть точек, через которые проходит ровно три из проведенных прямых.

1. Общее количество прямых: Для каждой пары из 6 точек проведена прямая. Число таких пар можно найти по формуле для комбинаций:
   [ C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15 ] Таким образом, у нас 15 прямых.

2. Пересечения прямых: Поскольку никакие три точки не коллинеарны, каждая пара прямых пересекается в единственной точке, и такое пересечение происходит вне исходных шести точек.

3. Нахождение построенных точек: Мы ищем точки, через которые проходят ровно три прямые. Для этого нужно понять, как можно выбрать три прямые из имеющихся, чтобы они пересекались в одной точке.

   Для каждой тройки прямых, пересечение соответствует точке, которая является решением системы уравнений, определяемых этими прямыми. Мы можем выбрать любые три прямые из 15 для пересечения. Число способов выбрать 3 прямые из 15 равно: [ C_{15}^3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 ]

4. Пересечения по условию задачи: Однако, не всякая тройка прямых может пересекаться в одной точке, создавая "построенную" точку. Нам нужно учесть, что каждая "построенная" точка должна быть пересечением ровно трех прямых.

5. Наибольшее количество построенных точек: Анализируя конфигурации, можно заметить, что наибольшее число построенных точек достигается, когда каждый разбер из 15 прямых пересекается с 3 другими в различных точках. Это возможно, когда у нас есть конфигурация, например, полной системы треугольников, образованных этими прямыми.

Однако, точный подсчет требует учета различных конфигураций, и можно показать, что наибольшее количество таких построенных точек при данных условиях (15 прямых, каждая из которых пересекается с другими) равно 20. Это связано с тем, что каждая точка пересечения является результатом пересечения трех прямых, однако пересечения должны учитывать уникальность и независимость других пересечений.

Таким образом, наибольшее количество "построенных" точек составляет 20.