На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмеены точки M и N так что BM=CN. Докажите, что: а)...

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ), в котором ( AB = AC ). На основании ( BC ) отмечены точки ( M ) и ( N ) так, что ( BM = CN ). Нам нужно доказать два утверждения:

а) ( \triangle BAM \cong \triangle CAN )

б) ( \triangle AMN ) равнобедренный.

Доказательство:

а) Доказательство равенства треугольников ( \triangle BAM ) и ( \triangle CAN ):

Чтобы доказать равенство треугольников, мы используем признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (СУА).

1. Стороны:

   • По условию, ( AB = AC ) (так как треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренный).
   • Также по условию, ( BM = CN ).

2. Углы:

   • Углы ( \angle ABM ) и ( \angle ACN ) равны, так как отрезки ( BM ) и ( CN ) симметричны относительно оси симметрии ( \triangle ABC ), проходящей через вершину ( A ) и перпендикулярной основанию ( BC ).
   • Углы ( \angle BAM ) и ( \angle CAN ) также равны, так как они являются углами при равных сторонах ( AB ) и ( AC ) (также симметричны относительно оси симметрии).

Таким образом, по признаку равенства треугольников (СУА), получаем, что ( \triangle BAM \cong \triangle CAN ).

б) Доказательство того, что ( \triangle AMN ) равнобедренный:

Для доказательства равнобедренности треугольника ( \triangle AMN ), достаточно показать, что ( AM = AN ).

1. Из равенства треугольников:
   • Из пункта а) мы знаем, что ( \triangle BAM \cong \triangle CAN ).
   • Это означает, что соответствующие отрезки равны, следовательно, ( AM = AN ).

Таким образом, ( \triangle AMN ) является равнобедренным с сторонами ( AM ) и ( AN ).

Заключение:

Таким образом, мы доказали оба утверждения:

• ( \triangle BAM \cong \triangle CAN ),
• ( \triangle AMN ) является равнобедренным.

Для начала докажем, что треугольники BAM и CAN равны.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то у него равны стороны AB и AC. Также из условия задачи мы знаем, что BM = CN.

Рассмотрим треугольник BAM. У него стороны AB и BM равны сторонам AC и CN треугольника CAN. Угол B также равен углу C, так как ABC - равнобедренный треугольник. Поэтому по теореме об угле-прилежащем треугольники BAM и CAN равны.

Теперь докажем, что треугольник AMN равнобедренный.

Рассмотрим треугольник AMN. Из условия задачи мы знаем, что BM = CN, а значит треугольники BMN и CNM равны по стороне и двум углам. Так как у этих треугольников равны две стороны и угол между ними, то они равнобедренные. Значит, угол AMN равен углу ANM, что делает треугольник AMN равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник BAM равен треугольнику CAN, а треугольник AMN равнобедренный.