На окружности с центром О отмечены две точки М и N так,что угол MON прямой . Отрезок NP диаметр окружности....

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дано:

   • Окружность с центром ( O ).
   • Точки ( M ) и ( N ) на окружности такие, что угол ( \angle MON = 90^\circ ).
   • Отрезок ( NP ) является диаметром окружности.

2. Требуется доказать:

   • Хорды ( MN ) и ( MP ) равны.
   • Найти угол ( \angle PMN ).

Доказательство равенства хорд ( MN ) и ( MP ):

1. Рассмотрим треугольник ( MNP ):

   • Поскольку ( NP ) — диаметр окружности, то угол ( \angle MNP = 90^\circ ) (угол, опирающийся на диаметр, равен ( 90^\circ )).

2. Рассмотрим четырёхугольник ( MONP ):

   • Угол ( \angle MON = 90^\circ ) (по условию).
   • Угол ( \angle MNP = 90^\circ ) (как упомянуто выше).
   • Следовательно, ( \angle MON + \angle MNP = 180^\circ ), что означает, что точки ( M ), ( O ), ( N ), и ( P ) лежат на одной окружности (вписанный четырёхугольник).

3. Докажем равенство хорд:

   • Поскольку ( OM = ON = OP ) (все они радиусы окружности), треугольники ( \triangle MON ) и ( \triangle MOP ) равнобедренные.
   • В равнобедренном треугольнике ( \triangle MON ) углы ( \angle NMO = \angle NOM ).
   • В равнобедренном треугольнике ( \triangle MOP ) углы ( \angle MPO = \angle OMP ).
   • Поскольку ( \angle NOM + \angle MON + \angle MOP = 180^\circ ) и ( \angle MON = 90^\circ ), то ( \angle NOM + \angle MOP = 90^\circ ).
   • В равнобедренных треугольниках ( \angle NMO = \angle MPO ).
   • Следовательно, хорды ( MN ) и ( MP ) равны, так как противоположные углы равны.

Нахождение угла ( \angle PMN ):

1. Треугольник ( MNP ):
   • Мы знаем, что ( \angle MNP = 90^\circ ) и хорды ( MN = MP ), что означает, что ( \triangle MNP ) — равнобедренный прямоугольный треугольник.
   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны: [ \angle PMN = \angle MPN = 45^\circ ]

Таким образом, мы доказали, что хорды ( MN ) и ( MP ) равны, и что угол ( \angle PMN = 45^\circ ).

Для доказательства равенства хорд MN и MP воспользуемся свойством окружностей: хорда, проходящая через центр окружности, равна радиусу окружности. Так как отрезок NP является диаметром окружности, то он проходит через центр О, и, следовательно, равен радиусу.

Таким образом, отрезки MN и MP равны радиусу окружности, следовательно, они равны между собой.

Чтобы найти угол PMN, воспользуемся свойством касательных: угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угла, образованного этой хордой и диаметром, проведенным к той же точке.

Таким образом, угол PMN равен половине угла MON, то есть угол PMN равен 45 градусов (так как угол MON прямой).