Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О.Через точку О проведена прямая,параллельная стороне...

EF = 10 см.

Для решения этой задачи можно использовать следующие теоремы и свойства из геометрии:

1. Теорема о пересечении медиан: В треугольнике медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Свойство параллельности и пропорциональности отрезков: Если через точку, лежащую внутри треугольника, провести прямую, параллельную одной из его сторон, то эта прямая разделит две другие стороны треугольника на пропорциональные отрезки.

Используя эти свойства, рассмотрим треугольник ABC, где медианы пересекаются в точке O. Прямая, проведенная через точку O параллельно стороне AC, пересекает стороны AB и BC соответственно в точках E и F.

Поскольку прямая EF параллельна стороне AC, то отрезки AE и EB, а также BF и FC, пропорциональны. При этом, поскольку точка O делит медианы в отношении 2:1, точка O делит отрезки AE и BF в таком же отношении. Следовательно, EF также будет пропорционален AC.

Ключевой момент здесь в том, что EF, разделяющий стороны AB и BC пропорционально, делит каждую из этих сторон в отношении, аналогичном тому, как вершина B делит сторону AC. Поскольку O делит медианы в отношении 2:1, то и EF будет равен 1/3 длины AC (применяя теорему Фалеса).

Таким образом, если AC = 15 см, то длина EF будет равна 1/3 от 15 см, что составляет 5 см.

Итак, длина отрезка EF равна 5 см.

Для решения данной задачи нам нужно использовать свойство параллельности сторон треугольника. Поскольку прямая EF параллельна стороне AC треугольника ABC, то согласно теореме Талеса отношение длин отрезков, на которые прямая делит параллельные стороны треугольника, равно отношению длин соответствующих сторон:

EF/FA = CE/EA.

Так как точка О является точкой пересечения медиан треугольника, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. Поэтому CE = 2/3 AO, EA = 2/3 CO.

Теперь найдем длину сторон AE и CE. По теореме Пифагора в треугольнике ACO: AC^2 = AO^2 + CO^2, 15^2 = AO^2 + (1/2 AC)^2, AO = √(15^2 - (1/2 15)^2) = √(225 - 56.25) = √168.75.

Таким образом, CE = 2/3 √168.75 и EA = 2/3 √168.75.

Подставим полученные значения в уравнение EF/FA = CE/EA: EF/FA = (2/3 √168.75) / (2/3 √168.75), EF/FA = 1.

Отсюда следует, что EF = FA.

Таким образом, длина отрезка EF равна длине отрезка FA.