Медианы am и bn равностороннего треугольника abc пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников...

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
равносторонний треугольник медианы пересечение доказательство равенство треугольников точки пересечения геометрия
0

Медианы am и bn равностороннего треугольника abc пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников AON и BOM

avatar
задан 5 месяцев назад

3 Ответа

0

Для доказательства равенства треугольников AON и BOM воспользуемся свойствами равностороннего треугольника.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны между собой, а значит, медиана AM также является высотой и биссектрисой этого треугольника. То же самое касается медианы BN.

Так как точка O - точка пересечения медиан треугольника ABC, она делит каждую медиану пополам. То есть, AO = ON и BO = OM.

Теперь обратим внимание на углы треугольников AON и BOM. Так как медианы являются биссектрисами, угол AON равен углу BOM.

Таким образом, мы установили, что стороны треугольников AON и BOM равны между собой AO=ONиBO=OM, а также их углы равны уголAON=уголBOM.

Из этих двух фактов следует, что треугольники AON и BOM равны друг другу по двум сторонам и углу между ними, что доказывает равенство этих треугольников.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Треугольники AON и BOM равны по двум сторонам и общему углу, так как точка O - центр тяжести треугольника ABC, и медианы делятся в отношении 2:1.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Для доказательства равенства треугольников AON и BOM, начнем с того, что рассмотрим свойства равностороннего треугольника ABC.

  1. Свойства медиан в равностороннем треугольнике: В равностороннем треугольнике все медианы делятся в точке пересечения на две равные части и пересекаются в одной точке, называемой центроидом, который также является центром окружности, вписанной и описанной около треугольника. В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают.

  2. Центроид: Обозначим точку пересечения медиан AM и BN как точку O. В равностороннем треугольнике центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Это означает, что AO=23AM и BO=23BN.

  3. Определение точек и треугольников: Пусть M и N — это середины сторон BC и AC соответственно. Тогда AM и BN — это медианы, которые делят стороны пополам.

  4. Свойства медиан и точек: Поскольку ABC равносторонний, все его стороны равны: AB=BC=CA. Также медианы равны: AM=BM=CM.

  5. Рассмотрим треугольники AON и BOM:

    • AO и BO являются медианами, делящими друг друга в отношении 2:1.
    • Углы при вершинах A и B равны, так как углы в равностороннем треугольнике равны по60градусовкаждый.
    • Стороны AN и BM равны, так как они являются медианами равностороннего треугольника и равны половине сторон треугольника ABC.
  6. Доказательство равенства треугольников AON и BOM:

    • AO=BO как медианы, делящиеся в отношении 2:1.
    • AN = BM, так как это половины сторон равностороннего треугольника.
    • Угол AON=BON, так как эти углы являются вертикальными углами и равны.

    Следовательно, треугольники AON и BOM равны по двум сторонам и углу между ними попризнакуравенстватреугольниковподвумсторонамиуглумеждуними.

Таким образом, мы доказали, что AONBOM.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме