М - середина стороны АВ параллелограмма АВСD, О - произвольная точка пространства. Разложите вектор...

Вектор CM = (a + b + c) / 2.

Для того чтобы разложить вектор ( \mathbf{CM} ) по векторам ( \mathbf{OA} = \mathbf{a} ), ( \mathbf{OB} = \mathbf{b} ), ( \mathbf{OC} = \mathbf{c} ), начнем с определения этих векторов в контексте параллелограмма ( ABCD ).

1. Определим вектор ( \mathbf{AB} ): [ \mathbf{AB} = \mathbf{OB} - \mathbf{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ]

2. Определим вектор ( \mathbf{CM} ): Поскольку ( M ) — середина стороны ( AB ), координаты точки ( M ) можно определить как среднее арифметическое координат точек ( A ) и ( B ). Таким образом, вектор ( \mathbf{OM} ) будет: [ \mathbf{OM} = \frac{\mathbf{OA} + \mathbf{OB}}{2} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2} ]

3. Найдем вектор ( \mathbf{CM} ): [ \mathbf{CM} = \mathbf{OM} - \mathbf{OC} = \left(\frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}\right) - \mathbf{c} ]

4. Разложим ( \mathbf{CM} ) по векторам ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ), ( \mathbf{c} ): Подставим выражение для ( \mathbf{CM} ): [ \mathbf{CM} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \mathbf{c} ]

   Это разложение можно записать как: [ \mathbf{CM} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} - 1\cdot\mathbf{c} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{CM} ) разложен по векторам ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ) следующим образом: [ \mathbf{CM} = \frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{1}{2} \mathbf{b} - \mathbf{c} ]

Это разложение показывает, как вектор ( \mathbf{CM} ) выражается через векторы, исходящие из произвольной точки ( O ) к вершинам параллелограмма.

Для разложения вектора CM по векторам OA, OB и OC нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Известно, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, вектор СМ равен вектору BD, так как они оба соединяют середины противоположных сторон параллелограмма.

Теперь можем разложить вектор BD на вектора BO и OD. Так как точка О - произвольная, то вектор BD можно представить как сумму векторов BO и OD.

Таким образом, вектор CM можно представить как сумму векторов BO и OD, то есть CM = BO + OD.

Итак, вектор CM можно разложить по векторам OA, OB и OC следующим образом: CM = BO + OD = a + b.