Хорды MN и PK пересекаются в точке E так, что ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Найдите PK.
Хорды MN и PK пересекаются в точке E так, что ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Найдите PK.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах:
Из теоремы известно, что произведение отрезков хорд, образованных их пересечением, равно. То есть ME NE = PE KE.
Подставляем известные значения: 12 3 = PE PE 36 = PE^2
Отсюда получаем, что PE = 6 см.
Теперь обратим внимание на треугольник PKE. Из условия задачи известно, что PE = KE и PE = 6 см. Также, из равенства произведений отрезков хорд (PE KE = ME NE) следует, что KE = NE = 3 см.
Теперь рассмотрим треугольник PNE. В нем известны два катета - NE = 3 см и PE = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу PN: PN^2 = NE^2 + PE^2 PN^2 = 3^2 + 6^2 PN^2 = 9 + 36 PN^2 = 45 PN = √45 = 3√5 см
Таким образом, длина PK равна двойной длине отрезка PN, то есть: PK = 2 PN = 2 3√5 = 6√5 см
Ответ: длина PK равна 6√5 см.
В данной задаче мы имеем две хорды, ( MN ) и ( PK ), которые пересекаются в точке ( E ). Известно, что ( ME = 12 ) см, ( NE = 3 ) см, и ( PE = KE ). Требуется найти длину хорды ( PK ).
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой о произведениях отрезков хорд, которая утверждает, что если две хорды пересекаются, то произведения длин отрезков каждой хорды, образованных точкой пересечения, равны.
Обозначим:
Согласно теореме о произведениях отрезков хорд, мы имеем: [ ME \cdot NE = PE \cdot KE ]
Подставим известные значения в это уравнение: [ 12 \cdot 3 = x \cdot x ]
Упростим уравнение: [ 36 = x^2 ]
Решим его относительно ( x ): [ x = \sqrt{36} ] [ x = 6 ]
Таким образом, ( PE = KE = 6 ) см. Поскольку ( PK ) состоит из двух равных отрезков ( PE ) и ( KE ), длина хорды ( PK ) будет: [ PK = PE + KE = 6 + 6 = 12 ) см.
Ответ: длина хорды ( PK ) равна 12 см.
По теореме о пересекающихся хордах: ME NE = PE KE, откуда получаем 12 3 = PE PE, следовательно, PE = KE = 6 см. Так как PE = KE, то треугольник PKE равнобедренный, а значит, PK = 2 * PE = 12 см.
