Хорда AB, равная 8 см, отсекает от окружности с центром O дугу в 90 градусов. Через концы хорды проведены...

а) Четырехугольник ABCD является прямоугольником, так как угол между любыми двумя диагоналями прямой (180 градусов), а угол между хордой и радиусом, проведенным к концу хорды, равен 90 градусов.

б) Диаметр равен удвоенной длине радиуса, следовательно, длина диаметра AC равна 16 см, длина диаметра BD также равна 16 см.

Для нахождения неизвестных сторон четырехугольника воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть x - длина стороны прямоугольника AB, тогда:

AC = √(AB² + BC²) = √(8² + x²) = 16

Таким образом, x² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192, x = √192 ≈ 13.85 см.

Аналогично для стороны CD:

BD = √(AB² + CD²) = √(8² + y²) = 16

y² = 16² - 8² = 256 - 64 = 192, y = √192 ≈ 13.85 см.

Таким образом, стороны прямоугольника ABCD равны 8 см, 13.85 см, 8 см и 13.85 см, а длины диагоналей равны 16 см.

Хорда AB длиной 8 см отсекает от окружности дугу в 90 градусов. Через концы хорды проведены диаметры AC и BD. Давайте рассмотрим данный четырехугольник ABCD подробно.

а) Определите вид четырехугольника ABCD.

1. Рассмотрим окружность с центром O. Пусть радиус окружности равен R.
2. Хорда AB отсекает дугу в 90 градусов, значит, угол AOB составляет 90 градусов (поскольку угол между радиусами, проведенными в точки A и B, равен углу, соответствующему дуге).
3. Диаметры AC и BD проходят через центр O и делят окружность на полукруги. Следовательно, точки C и D противоположны точкам A и B и являются концами диаметров.
4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность и его противоположные стороны являются диаметрами. Это значит, что углы A и C, B и D являются прямыми углами (по свойству вписанного четырехугольника, если один из углов равен 90 градусам, то и противоположный ему угол также равен 90 градусам).

Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником, поскольку все его углы равны 90 градусам.

б) Найдите длины диагоналей и неизвестных сторон четырехугольника.

1. Найдем радиус окружности. Поскольку хорда AB отсекает дугу в 90 градусов, то треугольник AOB является прямоугольным с гипотенузой AB и катетами AO и BO. [ AB = 8 \text{ см} ] [ AO = BO = R ] По теореме Пифагора для треугольника AOB: [ AB^2 = AO^2 + BO^2 ] [ 8^2 = R^2 + R^2 ] [ 64 = 2R^2 ] [ R^2 = 32 ] [ R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} ]

2. Стороны прямоугольника ABCD равны диаметрам окружности, т.е. 2R. [ AC = BD = 2R = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см} ]

3. Диагонали прямоугольника ABCD. Диагонали прямоугольника равны и вычисляются по теореме Пифагора как гипотенузы треугольника с катетами AC и BD. [ \text{Диагональ} = \sqrt{AC^2 + BD^2} ] Поскольку AC = BD, то: [ \text{Диагональ} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2} ] [ \text{Диагональ} = \sqrt{128 + 128} ] [ \text{Диагональ} = \sqrt{256} = 16 \text{ см} ]

Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником с длинами сторон 8√2 см и диагоналями длиной 16 см.

а) Четырехугольник ABCD - квадрат. б) Длины диагоналей: AC и BD равны 8√2 см, стороны квадрата равны 8 см.