Касательная к окружности, вписанной в треугольник АВС пересекает стороны ВС и АС соответственно в точках...

Периметр треугольника A1B1C равен 18.

Чтобы найти периметр треугольника (A_1B_1C), сначала рассмотрим некоторые свойства касательной к окружности, вписанной в треугольник (ABC).

Шаг 1: Определение точек касания

Пусть (I) - центр вписанной окружности треугольника (ABC). Пусть окружность касается стороны (BC) в точке (D), стороны (CA) в точке (E), и стороны (AB) в точке (F).

Шаг 2: Свойства касательных

Точки (A_1) и (B_1) являются точками пересечения касательной к вписанной окружности с сторонами (BC) и (CA) соответственно. По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Так как (A_1) является точкой касания, проведенной от точки пересечения касательной с (BC), и (B_1) - точкой касания, проведенной от точки пересечения касательной с (CA), то (A_1) и (B_1) являются точками касания касательных из одной точки.

Шаг 3: Использование теоремы о касательных

Используя теорему о касательных, проведенных из одной точки, получаем: [ A_1C = A_1D \quad \text{и} \quad B_1C = B_1E ]

Шаг 4: Расчет длин отрезков

Для треугольника (ABC) с известными сторонами (AB = 7), (BC = 5), и (CA = 6), можно найти полупериметр треугольника (ABC): [ s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 5 + 6}{2} = 9 ]

Тогда длины отрезков касательных будут: [ A_1C = s - AB = 9 - 7 = 2 ] [ B_1C = s - AC = 9 - 6 = 3 ] [ A_1B_1 = s - BC = 9 - 5 = 4 ]

Шаг 5: Периметр треугольника (A_1B_1C)

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника (A_1B_1C): [ A_1B_1 = 4, \quad A_1C = 2, \quad B_1C = 3 ]

Периметр треугольника (A_1B1C) равен сумме длин его сторон: [ P{A_1B_1C} = A_1B_1 + A_1C + B_1C = 4 + 2 + 3 = 9 ]

Ответ

Периметр треугольника (A_1B_1C) равен (9).

Для начала заметим, что точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника на отрезки В1С = x и А1С = y соответственно. Также заметим, что так как касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, проведенному из точки касания, то отрезки А1В1 и А1С равны между собой.

Получаем, что А1В1 = А1С = y.

Теперь вспомним теорему о касательных: касательная, проведенная к окружности из точки внутри нее, равна радиусу. Из этого следует, что отрезки А1В1 и А1С равны радиусу вписанной окружности.

Таким образом, А1В1 = А1С = r.

Далее найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (7 + 5 + 6) / 2 = 9.

S = sqrt(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = sqrt(9 2 4 3) = sqrt(216) = 6 * sqrt(6).

Так как S = p r, где r - радиус вписанной окружности, то r = S / p = (6 sqrt(6)) / 9 = 2 * sqrt(6) / 3.

Теперь найдем периметр треугольника А1В1С:

P(A1B1C) = 3 (А1В1 + А1C) = 3 (2 sqrt(6) / 3 + 2 sqrt(6) / 3) = 2 sqrt(6) + 2 sqrt(6) = 4 * sqrt(6).

Итак, периметр треугольника А1В1С равен 4 * sqrt(6).