. Какие из следующих утверждений верны? 1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,...

Давайте разберем каждое из утверждений подробно.

1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Это утверждение верное.
Обоснование: Если в прямоугольном треугольнике провести медиану к гипотенузе, то эта медиана делит гипотенузу пополам, а сам треугольник оказывается вписан в окружность, где гипотенуза — диаметр окружности. Точка пересечения медианы с гипотенузой является её серединой. Так как медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна радиусу окружности, а радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник, равен половине гипотенузы $диаметра$, то медиана действительно равна половине гипотенузы.

2. В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Это утверждение неверное.
Обоснование: Для того чтобы центры вписанной и описанной окружностей совпадали, треугольник должен быть равносторонним. В равнобедренном треугольнике это условие выполняется только в частном случае, когда равнобедренный треугольник становится равносторонним. В общем случае в равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей не совпадают.

3. Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма параллельны или совпадают.

Это утверждение верное.
Обоснование: В параллелограмме противоположные углы равны по величине. Биссектрисы углов делят их пополам. Если провести биссектрисы противоположных углов, то они будут параллельны $посколькууглыравны,алинии,делящиеихпополам,будутиметьодинаковыйнаклон$. В случае, когда параллелограмм вырождается в квадрат или прямоугольник, все углы прямые, и тогда биссектрисы противоположных углов совпадают.

Итог:

• Утверждение 1 — верно.
• Утверждение 2 — неверно.
• Утверждение 3 — верно.

Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности.

Утверждение 1:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Это утверждение является верным. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, действительно равна половине гипотенузы. Это можно объяснить с помощью теоремы о медианах: медиана, проведенная из вершины к гипотенузе, делит ее на два равных отрезка и равна половине длины гипотенузы. Если обозначить гипотенузу как $c$, то медиана $m$ будет равна $\frac{c}{2}$.

Утверждение 2:

В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Это утверждение является неверным. В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей не совпадают, если треугольник не является равносторонним. Центр вписанной окружности $инцентр$ находится в точке пересечения биссектрис углов, а центр описанной окружности $циркумцентр$ находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон. Только в равностороннем треугольнике эти центры совпадают.

Утверждение 3:

Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма параллельны или совпадают.

Это утверждение также является верным. В параллелограмме противолежащие углы равны, и их биссектрисы также будут параллельны, так как они делят углы пополам и сохраняют направление. Если рассмотреть параллелограмм ABCD, то биссектрисы углов A и C будут параллельны $илисовпадутвслучае,еслипараллелограммявляетсяромбом,гдевсеуглыравны$.

Итог:

1. Верно
2. Неверно
3. Верно

Таким образом, из трех утверждений верны первое и третье.

1. Верно. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2. Верно. В равнобедренном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
3. Верно. Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма параллельны или совпадают.

Все три утверждения верны.