К окружности с центром в точке O провели касательную AB (B -точка касания).Найдите радиус окружности...

Для решения данной задачи воспользуемся свойством касательной, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, угол AOB является прямым углом.

Поскольку угол AOB = 45°, то угол OAB и угол OBA равны по 45°/2 = 22,5°.

Также из свойств прямоугольного треугольника следует, что tg(22,5°) = (AB/2) / r, где r - радиус окружности.

tg(22,5°) = (AB/2) / r tg(22,5°) = 4 / r r = 4 / tg(22,5°) r ≈ 4 / 0,4142 r ≈ 9,65 см

Таким образом, радиус окружности составляет около 9,65 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательной и треугольником, образованным радиусами и касательной.

Дано:

• AB = 8 см (длина касательной),
• угол AOB = 45°.

Требуется найти радиус окружности ( r ).

Основные свойства и формулы:

1. Свойство касательной: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, (\angle OBA = 90^\circ).

2. Треугольник OBA: Это прямоугольный треугольник, где OB — радиус окружности, а AB — касательная.

3. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике: Используя угол (\angle AOB = 45^\circ), можно применить тригонометрические соотношения.

Решение:

В треугольнике OAB:

• (\angle OBA = 90^\circ),
• (\angle AOB = 45^\circ).

Так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ), третий угол (\angle OAB = 45^\circ).

Теперь, в прямоугольном треугольнике OAB, можем использовать отношение:

[ \tan \angle OAB = \frac{AB}{OB} ]

[ \tan 45^\circ = 1 ]

Подставим известные значения:

[ 1 = \frac{8}{OB} ]

Отсюда:

[ OB = 8 \text{ см} ]

Поскольку OB — это радиус окружности, то радиус окружности равен 8 см.

Таким образом, радиус окружности равен (8) см.