Известно, что треугольники подобны, и их площади относятся как 49/64. Как относятся их периметры?

Треугольники называются подобными, если их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При этом коэффициент подобия (отношение длин соответствующих сторон) одинаков для всех пар соответствующих сторон.

Если площади подобных треугольников относятся как ( \frac{49}{64} ), это означает, что коэффициент подобия ( k ) в квадрате равен отношению площадей. Это связано с тем, что площадь треугольника пропорциональна квадрату его линейных размеров. Таким образом, можно записать уравнение:

[ k^2 = \frac{49}{64} ]

Чтобы найти коэффициент подобия ( k ), необходимо извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

[ k = \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8} ]

Теперь, когда мы знаем коэффициент подобия ( k = \frac{7}{8} ), можем определить, как относятся периметры подобных треугольников. Периметры подобных треугольников относятся так же, как и их стороны, то есть в том же отношении ( k ).

Таким образом, отношение периметров подобных треугольников будет равно коэффициенту подобия:

[ \frac{7}{8} ]

Ответ: Периметры подобных треугольников относятся как ( \frac{7}{8} ).

Для нахождения отношения периметров подобных треугольников, можно воспользоваться тем фактом, что длины сторон подобных фигур пропорциональны. Пусть у нас есть два подобных треугольника с соответственными сторонами a, b, c и a', b', c'.

Тогда отношение периметров этих треугольников будет равно a + b + c : a' + b' + c'. Так как треугольники подобны, то отношение любой стороны одного треугольника к соответствующей стороне другого треугольника равно постоянной пропорции, которая называется коэффициентом подобия.

Пусть коэффициент подобия треугольников равен k, тогда a' = ka, b' = kb, c' = kc.

Таким образом, отношение периметров будет:

(a + b + c) : (ka + kb + kc) = (a + b + c) : k(a + b + c) = 1 : k.

Так как отношение площадей треугольников равно 49/64, то k^2 = 49/64, откуда k = 7/8.

Следовательно, отношение периметров подобных треугольников будет 1 : 7/8 = 8 : 7.

Если треугольники подобны, то их периметры относятся так же, как их стороны. Поэтому периметры треугольников будут относиться как корень из отношения их площадей, то есть как 7/8.