Из вершины тупого угла перпендикулярно к его сторонам проведены два луча так, что образованный этими лучами угол является острым. Докажите, что сумма этого острого угла и данного тупого угла равно 180 градусам.
Из вершины тупого угла перпендикулярно к его сторонам проведены два луча так, что образованный этими лучами угол является острым. Докажите, что сумма этого острого угла и данного тупого угла равно 180 градусам.
Рассмотрим тупой угол ( \angle AOB ) с вершиной в точке ( O ). Пусть ( \angle AOB = \theta ), где ( 90^\circ < \theta < 180^\circ ). Проведём из вершины ( O ) перпендикуляры к сторонам угла ( AOB ). Обозначим точку пересечения перпендикуляра к ( OA ) с прямой ( OA ) как ( C ), а точку пересечения перпендикуляра к ( OB ) с прямой ( OB ) как ( D ). Таким образом, ( \angle OCA = 90^\circ ) и ( \angle ODB = 90^\circ ).
Пусть ( \angle COD = \alpha ). Нужно доказать, что ( \alpha + \theta = 180^\circ ).
Рассмотрим треугольники ( OCA ) и ( ODB ). В этих треугольниках углы при вершинах ( C ) и ( D ) равны ( 90^\circ ). Кроме того, углы ( \angle OAC ) и ( \angle OBD ) также равны ( 90^\circ ), так как ( OC ) и ( OD ) перпендикулярны к ( OA ) и ( OB ) соответственно.
Теперь рассмотрим четырехугольник ( OCDB ). В этом четырехугольнике два угла при вершинах ( C ) и ( D ) равны ( 90^\circ ).
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна ( 360^\circ ). Поэтому:
[ \angle OCA + \angle ODB + \angle COD + \angle AOB = 360^\circ ]
Подставляя известные значения:
[ 90^\circ + 90^\circ + \alpha + \theta = 360^\circ ]
Сокращаем:
[ 180^\circ + \alpha + \theta = 360^\circ ]
Вычитаем ( 180^\circ ) из обеих частей уравнения:
[ \alpha + \theta = 180^\circ ]
Таким образом, мы доказали, что сумма образованного острого угла ( \alpha ) и данного тупого угла ( \theta ) равна ( 180^\circ ).
Для доказательства этого факта, рассмотрим треугольник, образованный вершиной тупого угла и точками пересечения лучей с его сторонами. Поскольку угол, образованный этими лучами, является острым, то он будет меньше 90 градусов.
Таким образом, в треугольнике у нас есть два острых угла и один тупой угол. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поскольку два острых угла в сумме меньше 180 градусов, то тупой угол должен дополнять сумму этих двух острых углов до 180 градусов.
Таким образом, сумма угла, образованного двумя лучами из вершины тупого угла, и самого тупого угла равна 180 градусам.
