Из вершины тупого угла перпендикулярно к его сторонам проведены два луча так, что образованный этими...

Рассмотрим тупой угол $\mathrm{\angle }AOB$ с вершиной в точке $O$. Пусть $\mathrm{\angle }AOB=\theta$, где ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$. Проведём из вершины $O$ перпендикуляры к сторонам угла $AOB$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра к $OA$ с прямой $OA$ как $C$, а точку пересечения перпендикуляра к $OB$ с прямой $OB$ как $D$. Таким образом, $\mathrm{\angle }OCA={90}^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }ODB={90}^{\circ }$.

Пусть $\mathrm{\angle }COD=\alpha$. Нужно доказать, что $\alpha +\theta ={180}^{\circ }$.

Рассмотрим треугольники $OCA$ и $ODB$. В этих треугольниках углы при вершинах $C$ и $D$ равны ${90}^{\circ }$. Кроме того, углы $\mathrm{\angle }OAC$ и $\mathrm{\angle }OBD$ также равны ${90}^{\circ }$, так как $OC$ и $OD$ перпендикулярны к $OA$ и $OB$ соответственно.

Теперь рассмотрим четырехугольник $OCDB$. В этом четырехугольнике два угла при вершинах $C$ и $D$ равны ${90}^{\circ }$.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна ${360}^{\circ }$. Поэтому:

$\mathrm{\angle }OCA+\mathrm{\angle }ODB+\mathrm{\angle }COD+\mathrm{\angle }AOB={360}^{\circ }$

Подставляя известные значения:

${90}^{\circ }+{90}^{\circ }+\alpha +\theta ={360}^{\circ }$

Сокращаем:

${180}^{\circ }+\alpha +\theta ={360}^{\circ }$

Вычитаем ${180}^{\circ }$ из обеих частей уравнения:

$\alpha +\theta ={180}^{\circ }$

Таким образом, мы доказали, что сумма образованного острого угла $\alpha$ и данного тупого угла $\theta$ равна ${180}^{\circ }$.

Для доказательства этого факта, рассмотрим треугольник, образованный вершиной тупого угла и точками пересечения лучей с его сторонами. Поскольку угол, образованный этими лучами, является острым, то он будет меньше 90 градусов.

Таким образом, в треугольнике у нас есть два острых угла и один тупой угол. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поскольку два острых угла в сумме меньше 180 градусов, то тупой угол должен дополнять сумму этих двух острых углов до 180 градусов.

Таким образом, сумма угла, образованного двумя лучами из вершины тупого угла, и самого тупого угла равна 180 градусам.