Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Докажите, что...

Давайте рассмотрим развернутый угол, вершина которого обозначена как точка ( O ), а его стороны — лучи ( OA ) и ( OB ). Развернутый угол, по определению, равен ( 180^\circ ).

Предположим, что из точки ( O ) проведены два луча ( OC ) и ( OD ), которые делят этот развернутый угол на три равные части. Это означает, что каждый из углов ( \angle AOC ), ( \angle COD ) и ( \angle DOB ) равен ( 60^\circ ) (поскольку ( 180^\circ / 3 = 60^\circ )).

Теперь нам нужно доказать, что биссектриса среднего угла ( \angle COD ), обозначенная как ( OE ), перпендикулярна сторонам развернутого угла ( OA ) и ( OB ).

1. Рассмотрим углы:

   • ( \angle AOC = 60^\circ )
   • ( \angle COD = 60^\circ )
   • ( \angle DOB = 60^\circ )

2. Рассмотрим биссектрису ( OE ) угла ( \angle COD ):

   • Биссектриса делит угол пополам, следовательно, каждый из углов ( \angle COE ) и ( \angle EOD ) равен ( 30^\circ ).

3. Анализ угла ( \angle AOE ):

   • Угол ( \angle AOE = \angle AOC + \angle COE = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ ).

4. Анализ угла ( \angle BOE ):

   • Угол ( \angle BOE = \angle EOD + \angle DOB = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ ).

Таким образом, ( OE ) перпендикулярна как ( OA ), так и ( OB ), что и требовалось доказать. Биссектриса среднего угла действительно перпендикулярна сторонам развернутого угла.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующую ситуацию: пусть у нас есть развернутый угол, вершина которого обозначена точкой O, а два луча, делящие его на три равные части, обозначены как OA и OB. При этом пусть точка пересечения биссектрисы угла AOB с его стороной AB обозначается как C.

Так как угол AOB разделен на три равные части, то угол AOC и угол COB также будут равными и составлять по 60 градусов каждый. Таким образом, треугольник AOC и треугольник COB равнобедренные, так как две их стороны равны (OA = OC и OB = OC) и углы при основании (углы AOC и COB) равны между собой.

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что биссектриса угла AOC будет также являться высотой треугольника AOC, а биссектриса угла COB - высотой треугольника COB. Из свойств высот треугольников следует, что они перпендикулярны к основанию. Таким образом, биссектриса угла AOB, проходящая через точку C, будет перпендикулярна его сторонам OA и OB.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса среднего угла развернутого угла является перпендикулярной его сторонам.