Из вершины A квадрата ABCD со стороной, равной 4 см, проведён перпендикуляр AK к его плоскости. Найти...

Расстояние от точки K до вершин квадрата ABCD можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Рассмотрим вершину A квадрата, которая находится в точке (0, 0, 0) в 3D-пространстве, и проведем перпендикуляр AK, который будет находиться в точке (0, 0, 3). Вершины квадрата ABCD будут иметь следующие координаты:

• B(4, 0, 0)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)

Теперь находим расстояние от точки K до каждой из вершин:

1. Расстояние до A: [ d_A = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (3-0)^2} = 3 \text{ см} ]

2. Расстояние до B: [ d_B = \sqrt{(0-4)^2 + (0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

3. Расстояние до C: [ d_C = \sqrt{(0-4)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41} \approx 6.4 \text{ см} ]

4. Расстояние до D: [ d_D = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

Таким образом, расстояния от точки K до вершин квадрата ABCD составляют:

• до A — 3 см,
• до B — 5 см,
• до C — (\sqrt{41} \approx 6.4) см,
• до D — 5 см.

Давайте рассмотрим квадрат ABCD со стороной 4 см, который расположен в плоскости, например, в плоскости XY. Предположим, что координаты вершин квадрата следующие:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 4, 0)
• D(0, 4, 0)

Теперь проведем перпендикуляр AK из вершины A вверх к некоторой точке K. Поскольку AK = 3 см, то координаты точки K будут (0, 0, 3).

Теперь найдем расстояние от точки K до каждой из вершин квадрата A, B, C и D. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Где (x₁, y₁, z₁) — координаты точки K, а (x₂, y₂, z₂) — координаты каждой из вершин квадрата.

1. Расстояние от K до A: [ d_{KA} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 9} = 3 \text{ см} ]

2. Расстояние от K до B: [ d_{KB} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

3. Расстояние от K до C: [ d_{KC} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41} \approx 6.4 \text{ см} ]

4. Расстояние от K до D: [ d_{KD} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

Итак, мы нашли расстояния от точки K до вершин квадрата:

• Расстояние до A: 3 см
• Расстояние до B: 5 см
• Расстояние до C: (\sqrt{41} \approx 6.4) см
• Расстояние до D: 5 см

Таким образом, расстояния от точки K до вершин квадрата составляют 3 см, 5 см, около 6.4 см и 5 см соответственно.

Давайте подробно разберем задачу и найдем расстояния от точки ( K ) до вершин квадрата ( ABCD ).

Дано:

1. ( ABCD ) — квадрат со стороной ( 4 \, \text{см} ).
2. ( AK ) — перпендикуляр к плоскости квадрата, ( AK = 3 \, \text{см} ).
3. Требуется найти расстояния от точки ( K ) до всех вершин квадрата ( A, B, C, D ).

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть:

• Квадрат ( ABCD ) лежит в плоскости ( xy ), а его сторона ( AB ) параллельна оси ( x ), сторона ( BC ) параллельна оси ( y ).
• Вершина ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ), ( B ) — ( (4, 0, 0) ), ( C ) — ( (4, 4, 0) ), ( D ) — ( (0, 4, 0) ).
• Точка ( K ), находящаяся на перпендикуляре к плоскости квадрата, имеет координаты ( (0, 0, 3) ) (по условию ( AK = 3 )).

Теперь найдем расстояния от ( K ) до каждой из вершин квадрата.

Расстояние от точки ( K ) до точки ( A ):

Координаты:

• ( K(0, 0, 3) ),
• ( A(0, 0, 0) ).

Расстояние вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z1)^2}. ] Подставляем: [ d{KA} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 9} = \sqrt{9} = 3 \, \text{см}. ]

Расстояние от точки ( K ) до точки ( B ):

Координаты:

• ( K(0, 0, 3) ),
• ( B(4, 0, 0) ).

Снова используем формулу расстояния: [ d{KB} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 3)^2}. ] Подставляем: [ d{KB} = \sqrt{4^2 + 0 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. ]

Расстояние от точки ( K ) до точки ( C ):

Координаты:

• ( K(0, 0, 3) ),
• ( C(4, 4, 0) ).

Вычисляем расстояние: [ d{KC} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 3)^2}. ] Подставляем: [ d{KC} = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41} \, \text{см}. ]

Расстояние от точки ( K ) до точки ( D ):

Координаты:

• ( K(0, 0, 3) ),
• ( D(0, 4, 0) ).

Вычисляем расстояние: [ d{KD} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 3)^2}. ] Подставляем: [ d{KD} = \sqrt{0 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. ]

Ответ:

Расстояния от точки ( K ) до вершин квадрата:

• ( d_{KA} = 3 \, \text{см} ),
• ( d_{KB} = 5 \, \text{см} ),
• ( d_{KC} = \sqrt{41} \, \text{см} ),
• ( d_{KD} = 5 \, \text{см} ).