Из точки к плоскости проведены две наклонные.Вычислите длины наклонных,если они относятся как 1:2,а...

Для решения данной задачи обозначим следующие величины:

• ( l_1 ) и ( l_2 ) — длины наклонных, которые относятся как 1:2,
• ( p_1 ) и ( p_2 ) — длины ортогональных проекций этих наклонных на плоскость, которые равны 1 см и 7 см соответственно.

Из условия задачи следует: [ l_1 : l_2 = 1 : 2 ] [ p_1 = 1 \text{ см} ] [ p_2 = 7 \text{ см} ]

Вспомним, что для любой наклонной, проведенной из точки к плоскости, длину наклонной, её ортогональной проекции на плоскость и расстояние от точки до плоскости (перпендикуляр) связывает теорема Пифагора: [ l^2 = p^2 + h^2 ] где ( h ) — это расстояние от точки до плоскости (перпендикуляр).

Обозначим это расстояние как ( h ). Тогда для первой наклонной: [ l_1^2 = p_1^2 + h^2 ] [ l_1^2 = 1^2 + h^2 ] [ l_1^2 = 1 + h^2 ]

Для второй наклонной: [ l_2^2 = p_2^2 + h^2 ] [ l_2^2 = 7^2 + h^2 ] [ l_2^2 = 49 + h^2 ]

Из условия о пропорциональности длин наклонных: [ l_2 = 2l_1 ]

Теперь подставим это в уравнение для ( l_2 ): [ (2l_1)^2 = 49 + h^2 ] [ 4l_1^2 = 49 + h^2 ]

Подставим выражение для ( l_1^2 ) из первого уравнения: [ 4(1 + h^2) = 49 + h^2 ] [ 4 + 4h^2 = 49 + h^2 ] [ 4h^2 - h^2 = 49 - 4 ] [ 3h^2 = 45 ] [ h^2 = 15 ] [ h = \sqrt{15} ]

Теперь найдём ( l_1 ): [ l_1^2 = 1 + h^2 ] [ l_1^2 = 1 + 15 ] [ l_1^2 = 16 ] [ l_1 = \sqrt{16} ] [ l_1 = 4 ]

Теперь найдём ( l_2 ): [ l_2 = 2l_1 ] [ l_2 = 2 \cdot 4 ] [ l_2 = 8 ]

Таким образом, длины наклонных равны: [ l_1 = 4 \text{ см} ] [ l_2 = 8 \text{ см} ]