Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикулярны KP и KF к сторонам угла. Докажите, что...

Для доказательства равенства KP и KF можно воспользоваться следующим рассуждением:

Поскольку KP и KF являются перпендикулярами к сторонам угла, проведенными из точки К, то треугольники KPF и KPE являются прямоугольными треугольниками.

Так как биссектриса острого угла делит его на два равных угла, то углы KPF и KPE также равны. Следовательно, треугольники KPF и KPE являются равнобедренными.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что его биссектриса (в данном случае отрезок КР) является медианой и высотой. Таким образом, KP и KF равны между собой.

Таким образом, доказано, что KP = KF.

Для доказательства того, что отрезки ( KP ) и ( KF ), проведенные из точки ( K ) на биссектрисе острого угла к его сторонам, равны, воспользуемся свойствами биссектрисы угла и геометрическими построениями.

Рассмотрим острый угол ( \angle ABC ), где ( BK ) — его биссектриса. Из точки ( K ) опущены перпендикуляры ( KP ) и ( KF ) на стороны ( AB ) и ( BC ) соответственно.

Доказательство:

1. Свойство биссектрисы угла: Биссектриса угла делит угол на два равных угла, то есть ( \angle ABK = \angle CBK ).

2. Треугольники ( \triangle KPB ) и ( \triangle KFB ): Рассмотрим эти два треугольника. У них общая сторона ( BK ) и прямые углы ( \angle KPB = \angle KFB = 90^\circ ).

3. Равенство углов: Поскольку ( BK ) — биссектриса, то ( \angle ABK = \angle CBK ).

4. Признак равенства прямоугольных треугольников: По гипотенузе и острому углу, треугольники ( \triangle KPB ) и ( \triangle KFB ) равны, так как:

   • ( \angle KPB = \angle KFB = 90^\circ ),
   • ( \angle ABK = \angle CBK ),
   • Общая сторона ( BK ).

5. Следствие из равенства треугольников: Из равенства треугольников ( \triangle KPB \cong \triangle KFB ) следует, что их соответствующие катеты равны, то есть ( KP = KF ).

Таким образом, мы доказали, что отрезки ( KP ) и ( KF ), проведенные перпендикулярно к сторонам угла из точки на биссектрисе этого угла, равны.

Точки P и F равноудалены от вершины угла.