Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними-30градусов. Найдите третью сторону треугольника...

Для решения задачи можно использовать теорему косинусов и формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними.

1. Использование теоремы косинусов для нахождения третьей стороны треугольника:

   Пусть стороны треугольника равны $a=8$ см, $b=4\sqrt{3}$ см, и угол между этими сторонами $\alpha ={30}^{\circ }$. Третью сторону $c$ можно найти по формуле: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\alpha )$ Подставим известные значения: $c^2=8^2+(4\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \cos ({30}^{\circ })$ $c^2=64+48-64\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $c^2=64+48-96=16$ $c=\sqrt{16}=4\text{ см}$

   Итак, третья сторона треугольника равна 4 см.

2. Нахождение площади треугольника:

   Площадь $S$ треугольника, если известны две стороны и угол между ними, можно найти по формуле: $S=\frac{1}{2}ab\sin (\alpha )$ Подставим известные значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin ({30}^{\circ })$ $S=4\cdot 4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}$ $S=4\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ кв. см}$

Итак, третья сторона треугольника равна 4 см, а площадь треугольника равна $8\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться косинусным законом:

c² = a² + b² - 2ab cos$C$,

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между известными сторонами.

Подставляем известные значения:

c² = 8² + $4\surd 3$² - 2 8 4√3 cos$30°$, c² = 64 + 48 - 64 cos$30°$, c² = 112 - 64 $sqrt(3$/2), c² = 112 - 32 sqrt$3$, c² = 112 - 55.43, c² ≈ 56.57, c ≈ sqrt$56.57$, c ≈ 7.52.

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 7.52 см.

Чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой:

S = 0.5 a b * sin$C$,

где S - площадь треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между известными сторонами.

Подставляем известные значения:

S = 0.5 8 4√3 sin$30°$, S = 16 2 * 0.5, S = 16.

Таким образом, площадь треугольника равна 16 квадратным сантиметрам.