Две окружности радиусов 13 и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами о1 и о2 равно 14 см. общая...

Для решения данной задачи можно использовать теорему о центральных и вписанных углах. Обозначим точку пересечения хорды и отрезка (О_1О_2) за (К). Так как хорда (АВ) является общей для двух окружностей, то угол (О_1АО_2) равен половине угла (АКВ), а угол (О_2АО_1) равен половине угла (ВКА). Также угол (О_1О_2К) является вписанным, а значит, равен половине суммы углов (О_1АО_2) и (О_2АО_1), то есть половине угла (АКВ).

Теперь найдем угол (АКВ). Так как угол (АКВ) является центральным для окружности с радиусом 15 см, то он равен углу, образованному дугой (АВ), то есть (2\cdot\angle АО_2В). Угол (АО_2В) равен (180^\circ - \angle О_2ВК), где (\angle О_2ВК) - вписанный угол (половина угла между хордой и касательной), равный (90^\circ). Таким образом, угол (АКВ = 2\cdot(180^\circ - 90^\circ) = 180^\circ).

Из угла (АКВ = 180^\circ) следует, что треугольник (АКВ) - прямоугольный. Теперь можем найти длины отрезков (О_1К) и (КО_2) с помощью теоремы Пифагора: [ О_1К = \sqrt{АК^2 - АО_1^2} = \sqrt{15^2 - 13^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7.48 \text{ см}, ] [ КО_2 = \sqrt{ВК^2 - ВО_2^2} = \sqrt{15^2 - 13^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7.48 \text{ см}. ]

Таким образом, (О_1К = КО_2 \approx 7.48 \text{ см}).

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим геометрическую ситуацию и воспользуемся некоторыми свойствами окружностей и треугольников.

1. Исходные данные:

   • Радиусы окружностей: ( R_1 = 13 ) см и ( R_2 = 15 ) см.
   • Расстояние между центрами окружностей ( O_1O_2 = 14 ) см.
   • Общая хорда ( AB ) пересекает отрезок ( O_1O_2 ) в точке ( K ).

2. Цель:

   • Найти длины отрезков ( O_1K ) и ( KO_2 ).

3. Построение:

   • Обозначим центр окружности радиуса 13 см как ( O_1 ) и центр окружности радиуса 15 см как ( O_2 ).
   • Общая хорда ( AB ) пересекает отрезок ( O_1O_2 ) в точке ( K ).

4. Используем теорему о хорд и отрезках:

   • Согласно теореме о хорд и отрезках, длина отрезков от центра окружности до точки пересечения хорды равна отношению произведений расстояний от точки пересечения до концов хорды и от центра окружности до общего центра.

   Таким образом, для нахождения ( O_1K ) и ( KO_2 ) можно воспользоваться формулой: [ O_1K = \frac{R_1^2 - R_2^2 + d^2}{2d} ] [ KO_2 = d - O_1K ] где ( d = O_1O_2 = 14 ).

5. Вычисления: Подставим значения в формулы: [ O_1K = \frac{13^2 - 15^2 + 14^2}{2 \times 14} ] [ O_1K = \frac{169 - 225 + 196}{28} ] [ O_1K = \frac{140}{28} = 5 ]

   Теперь найдем ( KO_2 ): [ KO_2 = 14 - 5 = 9 ]

Таким образом, длины отрезков ( O_1K ) и ( KO_2 ) равны 5 см и 9 см соответственно.

1. Чертеж: К сожалению, я не могу предоставить чертеж, но вы можете легко построить его, следуя этим шагам:
   • Нарисуйте две пересекающиеся окружности с центрами ( O_1 ) и ( O_2 ) с радиусами 13 см и 15 см соответственно.
   • Проведите отрезок ( O_1O_2 ) длиной 14 см.
   • Отметьте точку пересечения общей хорды ( AB ) и отрезка ( O_1O_2 ) как точку ( K ).
   • Обратите внимание, что ( O_1K = 5 ) см и ( KO_2 = 9 ) см.

Эти шаги помогут вам визуализировать задачу.