Две окружности касаются внутренне в точке b, ab - диаметр большей окружности. Через точку A проведены...

Для решения данной задачи обозначим центры окружностей как O1 и O2, радиусы как r1 и r2 соответственно, а также точки касания хорд с меньшей окружностью как C и D.

Так как ab - диаметр большей окружности, то точка b является серединой отрезка CD. Поскольку угол между хордами равен 60, то угол между хордой AC и хордой BD также равен 60 (так как угол, образуемый хордой и радиусом, равен половине центрального угла).

Таким образом, треугольники AOC и BOD являются равносторонними треугольниками.

Длина отрезка CD равна диаметру меньшей окружности, то есть 2r. Так как ab - диаметр большей окружности, то длина отрезка AB равна 2r2.

Из равносторонних треугольников AOC и BOD следует, что длина отрезка AC равна r1, а длина отрезка BD равна r2. Таким образом, мы нашли длины хорд: AC = r1 и BD = r2.

Длины хорд равны r√3.

Для решения данной задачи давайте рассмотрим геометрические отношения между элементами окружностей и хорд.

1. Обозначения и исходные данные:

   • Пусть радиус меньшей окружности равен ( r ).
   • Окружности касаются внутренне в точке ( B ).
   • ( AB ) — диаметр большей окружности.
   • Через точку ( A ) проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности.
   • Угол между этими хордами равен ( 60^\circ ).

2. Расположение точек и хорды: Предположим, что хорды ( AC ) и ( AD ) касаются меньшей окружности в точках ( C ) и ( D ) соответственно.

3. Касательные отрезки:

   • Так как ( C ) и ( D ) — точки касания, отрезки ( AC ) и ( AD ) равны по длине радиусам меньшей окружности, то есть ( AC = AD = r ).

4. Угол между хордами:

   • Угол между хордами ( AC ) и ( AD ) равен ( 60^\circ ).

5. Использование тригонометрии:

   • Рассмотрим треугольник ( ACD ) с вершинами в точках ( A ), ( C ) и ( D ).
   • В треугольнике ( ACD ) известны два стороны (( AC ) и ( AD )) и угол между ними (( \angle CAD = 60^\circ )).

   Для нахождения длины хорд ( AC ) и ( AD ) применим теорему косинусов: [ CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(60^\circ) ] Так как ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), подставим значения: [ CD^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \frac{1}{2} ] [ CD^2 = r^2 + r^2 - r^2 ] [ CD^2 = r^2 ] Следовательно: [ CD = r ]

6. Заключение:

   • Таким образом, длины хорд ( AC ) и ( AD ), которые касаются меньшей окружности и проведены через точку ( A ), равны радиусу меньшей окружности ( r ).

Ответ: Длины хорд ( AC ) и ( AD ) равны ( r ).