(Дополнительная задача) Сколько различных треугольников можно составить из пяти отрезков, длины которых...

Чтобы решить задачу, нужно учитывать условия существования треугольника. Треугольник можно построить, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, для треугольника со сторонами ( a ), ( b ), ( c ) (где ( a \leq b \leq c )), должно выполняться:

[ a + b > c ]

План решения:

1. Выберем все возможные комбинации трёх отрезков из пяти. Это можно сделать с помощью сочетаний. Количество сочетаний из пяти элементов по три равно: [ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 ] Таким образом, существует 10 различных наборов трёх отрезков.
2. Для каждой комбинации проверим выполнение условия треугольника: ( a + b > c ), где ( a \leq b \leq c ).
3. Подсчитаем количество комбинаций, удовлетворяющих условию.

Перебор всех комбинаций:

Длины отрезков: ( 1, 2, 4, 5, 6 ). Рассмотрим все сочетания по три:

1. Набор ( {1, 2, 4} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 4 ). Проверим неравенство: [ 1 + 2 \not> 4 ] Треугольник построить нельзя.

2. Набор ( {1, 2, 5} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 5 ). Проверим неравенство: [ 1 + 2 \not> 5 ] Треугольник построить нельзя.

3. Набор ( {1, 2, 6} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 1 + 2 \not> 6 ] Треугольник построить нельзя.

4. Набор ( {1, 4, 5} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = 5 ). Проверим неравенство: [ 1 + 4 > 5 ] [ 1 + 5 > 4 ] [ 4 + 5 > 1 ] Все три условия выполняются. Треугольник построить можно.

5. Набор ( {1, 4, 6} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 1 + 4 \not> 6 ] Треугольник построить нельзя.

6. Набор ( {1, 5, 6} ):

Упорядочим: ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 1 + 5 > 6 ] [ 1 + 6 > 5 ] [ 5 + 6 > 1 ] Все три условия выполняются. Треугольник построить можно.

7. Набор ( {2, 4, 5} ):

Упорядочим: ( a = 2 ), ( b = 4 ), ( c = 5 ). Проверим неравенство: [ 2 + 4 > 5 ] [ 2 + 5 > 4 ] [ 4 + 5 > 2 ] Все три условия выполняются. Треугольник построить можно.

8. Набор ( {2, 4, 6} ):

Упорядочим: ( a = 2 ), ( b = 4 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 2 + 4 = 6 ] Условие строгости (( a + b > c )) нарушено. Треугольник построить нельзя.

9. Набор ( {2, 5, 6} ):

Упорядочим: ( a = 2 ), ( b = 5 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 2 + 5 > 6 ] [ 2 + 6 > 5 ] [ 5 + 6 > 2 ] Все три условия выполняются. Треугольник построить можно.

10. Набор ( {4, 5, 6} ):

Упорядочим: ( a = 4 ), ( b = 5 ), ( c = 6 ). Проверим неравенство: [ 4 + 5 > 6 ] [ 4 + 6 > 5 ] [ 5 + 6 > 4 ] Все три условия выполняются. Треугольник построить можно.

Итог:

Из 10 возможных комбинаций трёх отрезков треугольник можно построить в следующих случаях:

1. ( {1, 4, 5} )
2. ( {1, 5, 6} )
3. ( {2, 4, 5} )
4. ( {2, 5, 6} )
5. ( {4, 5, 6} )

Таким образом, можно составить 5 различных треугольников.

Чтобы определить, сколько различных треугольников можно составить из отрезков с заданными длинами, нужно использовать неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Давайте рассмотрим все возможные комбинации отрезков длиной 1, 2, 4, 5 и 6. Мы будем проверять каждую тройку отрезков и применять неравенство треугольника.

1. (1, 2, 4):

   • 1 + 2 = 3 < 4 (не подходит)

2. (1, 2, 5):

   • 1 + 2 = 3 < 5 (не подходит)

3. (1, 2, 6):

   • 1 + 2 = 3 < 6 (не подходит)

4. (1, 4, 5):

   • 1 + 4 = 5 (не подходит)

5. (1, 4, 6):

   • 1 + 4 = 5 < 6 (не подходит)

6. (1, 5, 6):

   • 1 + 5 = 6 (не подходит)

7. (2, 4, 5):

   • 2 + 4 = 6 > 5 (подходит)

8. (2, 4, 6):

   • 2 + 4 = 6 (не подходит)

9. (2, 5, 6):

   • 2 + 5 = 7 > 6 (подходит)

10. (4, 5, 6):

    • 4 + 5 = 9 > 6 (подходит)

Теперь подытожим подходящие треугольники:

• (2, 4, 5)
• (2, 5, 6)
• (4, 5, 6)

Таким образом, можно составить 3 различных треугольника из отрезков длиной 1, 2, 4, 5 и 6.