Докажите что треугольник с вершинами А(3;0),В(1;5) и С(2;1) тупоугольный и найти косинус тупого угла

Для доказательства тупоугольности треугольника ABC нужно проверить, что квадрат длины одной из сторон треугольника больше суммы квадратов длин двух других сторон. Найдем длины сторон: AB = √[(1-3)^2 + (5-0)^2] = √[4 + 25] = √29 BC = √[(2-1)^2 + (1-5)^2] = √[1 + 16] = √17 AC = √[(2-3)^2 + (1-0)^2] = √[1 + 1] = √2 Теперь проверим тупоугольность треугольника: AB^2 > BC^2 + AC^2 29 > 17 + 2 29 > 19 Треугольник ABC тупоугольный. Найдем косинус тупого угла B: cosB = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC) cosB = (2 + 17 - 29) / (2 √2 √17) cosB = (-10) / (2√34) cosB = -5 / √34

Чтобы доказать, что треугольник с вершинами ( A(3, 0) ), ( B(1, 5) ) и ( C(2, 1) ) является тупоугольным, нужно вычислить косинусы всех его углов и найти угол, косинус которого отрицателен.

1. Вычисление векторов сторон треугольника:

   [ \overrightarrow{AB} = (1 - 3, 5 - 0) = (-2, 5) ] [ \overrightarrow{BC} = (2 - 1, 1 - 5) = (1, -4) ] [ \overrightarrow{CA} = (3 - 2, 0 - 1) = (1, -1) ]

2. Длина векторов (сторон треугольника):

   [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} ] [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} ] [ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

3. Косинус углов треугольника:

   Для угла (\angle ABC) (между (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC})):

   [ \cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} ] [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \times 1 + 5 \times (-4) = -2 - 20 = -22 ] [ \cos \angle ABC = \frac{-22}{\sqrt{29} \times \sqrt{17}} ]

   Для угла (\angle BCA) (между (\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{CA})):

   [ \cos \angle BCA = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} ] [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 1 \times 1 + (-4) \times (-1) = 1 + 4 = 5 ] [ \cos \angle BCA = \frac{5}{\sqrt{17} \times \sqrt{2}} ]

   Для угла (\angle CAB) (между (\overrightarrow{CA}) и (\overrightarrow{AB})):

   [ \cos \angle CAB = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} ] [ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times (-2) + (-1) \times 5 = -2 - 5 = -7 ] [ \cos \angle CAB = \frac{-7}{\sqrt{2} \times \sqrt{29}} ]

4. Определение тупого угла:

   Треугольник будет тупоугольным, если хотя бы один из углов имеет отрицательный косинус. Заметим, что:

   [ \cos \angle ABC = \frac{-22}{\sqrt{29} \times \sqrt{17}} ]

   Поскольку это значение отрицательно, (\angle ABC) является тупым углом.

5. Заключение:

   Треугольник с вершинами ( A(3, 0) ), ( B(1, 5) ) и ( C(2, 1) ) действительно является тупоугольным, и тупым углом является (\angle ABC) с косинусом (\cos \angle ABC = \frac{-22}{\sqrt{29} \times \sqrt{17}}).

Для доказательства того, что треугольник с вершинами А(3;0), В(1;5) и С(2;1) является тупоугольным, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((1-3)^2 + (5-0)^2) = √((-2)^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29

BC = √((2-1)^2 + (1-5)^2) = √(1^2 + (-4)^2) = √(1 + 16) = √17

AC = √((2-3)^2 + (1-0)^2) = √((-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2

Затем найдем косинус угла между сторонами AB и AC, который соответствует углу при вершине B:

cos(∠B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC) cos(∠B) = (29 + 17 - 2) / (2 √29 √17) cos(∠B) = 44 / (2 * √493) cos(∠B) = 22 / √493

Учитывая, что косинус тупого угла находится в интервале [-1, 0), мы можем заключить, что треугольник с вершинами А(3;0), В(1;5) и С(2;1) действительно является тупоугольным, а косинус тупого угла равен 22 / √493.