Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырехугольника, равна 180 градусов, то этот четырёхугольник-параллелограмм
Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырехугольника, равна 180 градусов, то этот четырёхугольник-параллелограмм
Для доказательства этого утверждения можно использовать свойство смежных углов и свойства параллелограмма. Пусть у нас есть четырёхугольник (ABCD), и предположим, что сумма углов ( \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ ).
Свойство смежных углов: Углы ( \angle ABC ) и ( \angle BCD ) смежные с внутренними углами ( \angle ABD ) и ( \angle BDC ) (предполагаем, что точка (B) лежит на прямой (AD), а точка (D) на прямой (BC)). По свойству смежных углов ( \angle ABD + \angle ABC = 180^\circ ) и ( \angle BDC + \angle BCD = 180^\circ ). Так как предположено, что ( \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ ), то ( \angle ABD = \angle BDC ).
Паралельность противоположных сторон: Поскольку ( \angle ABD = \angle BDC ), то сторона (AB) параллельна стороне (CD), так как соответственные углы равны. Это следует из аксиомы параллельных прямых (если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны).
Равенство противоположных углов: Рассмотрим углы ( \angle BCD ) и ( \angle BAD ). Поскольку ( \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ ) и ( \angle ABC + \angle BAD = 180^\circ ), то ( \angle BCD = \angle BAD ). Следовательно, сторона (BC) параллельна стороне (AD).
Заключение: Так как противоположные стороны (AB) и (CD) параллельны, а также (BC) и (AD) параллельны, четырёхугольник (ABCD) обладает свойствами параллелограмма, где каждая пара противоположных сторон параллельна друг другу.
Таким образом, четырёхугольник (ABCD) является параллелограммом, что и требовалось доказать.
Для начала, давайте рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть угол A равен α, угол B равен β, угол C равен γ и угол D равен δ.
Так как сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырехугольника равна 180 градусов, то мы можем записать следующие уравнения:
α + β = 180 градусов (1) β + γ = 180 градусов (2) γ + δ = 180 градусов (3) δ + α = 180 градусов (4)
Теперь сложим все уравнения:
(α + β) + (β + γ) + (γ + δ) + (δ + α) = 720 градусов
Используем тождество:
2(α + β + γ + δ) = 720 градусов α + β + γ + δ = 360 градусов
Таким образом, сумма всех углов четырехугольника равна 360 градусов. Это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как сумма углов параллелограмма также равна 360 градусов.
Таким образом, мы доказали, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырехугольника равна 180 градусов, то этот четырёхугольник-параллелограмм.
