Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и...

Для того чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим ситуацию, когда прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, назовем их P и Q. Поскольку эти две плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 градусов.

Теперь предположим, что прямая не перпендикулярна плоскости Q. Тогда существует точка на прямой, которая не лежит на плоскости Q. Проведем через эту точку прямую, параллельную плоскости Q и пересекающую плоскость P. Таким образом, мы получим две параллельные прямые, пересекающие плоскость P под углом, не равным 90 градусам. Это противоречие, так как прямая, перпендикулярная одной из параллельных плоскостей, должна быть перпендикулярна и другой плоскости.

Итак, мы доказали, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она также перпендикулярна и другой плоскости.

Чтобы доказать утверждение о том, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости, рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначения и условия задачи:

   • Пусть ( \alpha ) и ( \beta ) — две параллельные плоскости.
   • Пусть ( \ell ) — прямая, перпендикулярная к плоскости ( \alpha ). Это значит, что ( \ell ) образует прямой угол с любой прямой, лежащей в плоскости ( \alpha ).

2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости:

   • Прямая ( \ell ) перпендикулярна плоскости ( \alpha ), если угол между ( \ell ) и любой прямой, лежащей в ( \alpha ), равен ( 90^\circ ).

3. Рассмотрим параллельные плоскости:

   • По условию, ( \alpha \parallel \beta ). Это значит, что все прямые, лежащие в ( \alpha ), параллельны соответствующим прямым, лежащим в ( \beta ).

4. Свойство параллельных плоскостей:

   • Если две плоскости ( \alpha ) и ( \beta ) параллельны, то любая прямая, параллельная ( \alpha ) и лежащая в ( \beta ), сохраняет направление. В частности, это означает, что углы, образуемые прямой ( \ell ) с прямыми в ( \alpha ) и соответствующими параллельными прямыми в ( \beta ), одинаковы.

5. Доказательство перпендикулярности:

   • Если ( \ell ) перпендикулярна к ( \alpha ), то ( \ell ) образует угол ( 90^\circ ) с любой прямой ( m ), лежащей в ( \alpha ).
   • Рассмотрим прямую ( m' ), которая лежит в ( \beta ) и параллельна ( m ) (так как ( \alpha \parallel \beta )).
   • Поскольку ( \ell ) перпендикулярна к ( m ), то угол между ( \ell ) и ( m ) равен ( 90^\circ ).
   • Так как ( m \parallel m' ), то угол между ( \ell ) и ( m' ) также равен ( 90^\circ ). Это следует из того, что параллельные прямые ( m ) и ( m' ) сохраняют направление, и перпендикулярность ( \ell ) к ( m ) автоматически переносится на ( m' ).

6. Вывод:

   • Таким образом, прямая ( \ell ), перпендикулярная к любой прямой в плоскости ( \alpha ), будет перпендикулярна и к любой прямой в плоскости ( \beta ) (поскольку все они параллельны соответствующим прямым в ( \alpha )).
   • Следовательно, прямая ( \ell ) перпендикулярна и к плоскости ( \beta ).

Таким образом, мы доказали, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.