Докажите, что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А непринадлежит...

Если через прямую а и точку А можно провести только одну плоскость, то точка А не принадлежит прямой а.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующее. Предположим, что точка А принадлежит прямой а. Тогда через точку А можно провести бесконечное количество плоскостей, параллельных данной прямой а. Однако по условию задачи утверждается, что через прямую а и точку А можно провести только одну плоскость. Следовательно, наше предположение о том, что точка А принадлежит прямой а, неверно. Таким образом, можно сделать вывод, что точка А не принадлежит прямой а.

Для доказательства утверждения, что если через прямую ( a ) и точку ( A ) можно провести единственную плоскость, то точка ( A ) не принадлежит прямой ( a ), рассмотрим следующее.

Допущение:

Предположим, что точка ( A ) принадлежит прямой ( a ). То есть точка ( A ) лежит на прямой ( a ).

Рассуждение:

1. Прямая и точка на ней:

   Если точка ( A ) принадлежит прямой ( a ), это означает, что ( A ) является одной из точек, лежащих на ( a ). В таком случае через любую точку прямой ( a ) можно провести бесконечное множество плоскостей, содержащих эту прямую.

2. Плоскости через прямую:

   Рассмотрим прямую ( a ) и любую точку ( B ), не лежащую на этой прямой. Через прямую ( a ) и точку ( B ) можно провести одну плоскость. Однако, если точка ( B ) будет перемещаться вдоль направления, не совпадающего с направлением ( a ), то через прямую ( a ) и каждую новую точку из множества точек ( B ) можно провести новую плоскость.

3. Противоречие:

   Если точка ( A ) принадлежит прямой ( a ), то через прямую ( a ) и точку ( A ) можно провести бесконечное множество плоскостей. Это противоречит условию задачи, в которой сказано, что через прямую ( a ) и точку ( A ) можно провести единственную плоскость.

Заключение:

Таким образом, наше исходное предположение, что точка ( A ) принадлежит прямой ( a ), приводит к противоречию. Следовательно, точка ( A ) не может принадлежать прямой ( a ).

Вывод:

Если через прямую ( a ) и точку ( A ) можно провести единственную плоскость, то точка ( A ) не принадлежит прямой ( a ).