Докажите, что биссектрисы углов произвольного параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник....

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD. Пусть биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке O.

Так как углы параллелограмма равны и противоположны, то биссектрисы этих углов также равны и образуют угол в 90 градусов. Таким образом, у нас имеется четыре прямых угла в точке O.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равнобедренные, так как углы A и B, а также углы C и D равны. Более того, у них равны соответствующие стороны, так как они являются биссектрисами углов параллелограмма.

Из равности углов и сторон следует, что треугольники AOB и COD равны. Следовательно, их высоты, опущенные из вершин O на стороны AD и BC, равны. Но эти высоты являются биссектрисами углов параллелограмма, следовательно, они перпендикулярны сторонам параллелограмма и образуют прямоугольник.

Таким образом, биссектрисы углов произвольного параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник.

При пересечении биссектрис углов параллелограмма образуется прямоугольник, так как углы при основании параллелограмма равны, а значит, биссектрисы также будут перпендикулярны друг другу.

Чтобы доказать, что биссектрисы углов произвольного параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, рассмотрим параллелограмм (ABCD) с углами (\angle A), (\angle B), (\angle C), (\angle D). Пусть (l_A), (l_B), (l_C), и (l_D) — это биссектрисы углов (\angle A), (\angle B), (\angle C), и (\angle D) соответственно. Эти биссектрисы пересекаются в точках (P), (Q), (R), и (S).

Шаг 1: Свойства углов параллелограмма

В параллелограмме противоположные углы равны: [ \angle A = \angle C \quad \text{и} \quad \angle B = \angle D. ]

Сумма углов на одной стороне равна (180^\circ): [ \angle A + \angle B = 180^\circ. ]

Шаг 2: Свойства биссектрис

Биссектрисы углов делят каждый угол пополам: [ \angle PAL_A = \frac{\angle A}{2}, \quad \angle PBL_B = \frac{\angle B}{2}, \quad \angle PCR_L = \frac{\angle C}{2}, \quad \angle PDL_D = \frac{\angle D}{2}. ]

Шаг 3: Анализ образованных углов

Рассмотрим точку пересечения биссектрис (P). Тогда в точке (P) сумма углов, образованных биссектрисами, равна: [ \angle APB + \angle BPC + \angle CPD + \angle DPA = 360^\circ. ]

Так как: [ \angle APB = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ, ] [ \angle BPC = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ, ] [ \angle CPD = \frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ, ] [ \angle DPA = \frac{\angle D}{2} + \frac{\angle A}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ. ]

Таким образом, все углы в точке пересечения (P) равны (90^\circ).

Шаг 4: Заключение

Поскольку все углы между пересекающимися биссектрисами равны (90^\circ), то фигура, образованная точками пересечения биссектрис, является прямоугольником. Таким образом, биссектрисы углов произвольного параллелограмма при пересечении действительно образуют прямоугольник.

Этот вывод применим к любому параллелограмму, что доказывает утверждение задачи.